Bài 7 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11


Giải bài 7 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11. Giải phương trình f'(x) = 0

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:

LG a

\(f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm, tính đạo hàm của hàm số, sau đó giải phương trình lượng giác.

Phương pháp giải phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\): Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

\(f'(x) = - 3\sin x + 4\cos x + 5\). Do đó

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 3\sin x + 4\cos x + 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow3 \sin x - 4\cos x = 5\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\sin x -  \dfrac{4}{5}\ cos x = 1\).    (1)

Đặt \(\cos φ =  \dfrac{3}{5}\), \(\left(φ ∈ \left ( 0;\dfrac{\pi }{2} \right )\right ) \Rightarrow \sin φ =  \dfrac{4}{5}\), ta có:

(1)   \(\Leftrightarrow \sin x.\cos φ - \cos x.\sin φ = 1   \Leftrightarrow \sin(x - φ) = 1\)

\(\Leftrightarrow x - φ =  \dfrac{\pi }{2} + k2π   \Leftrightarrow x = φ + \dfrac{\pi }{2} + k2π, k ∈ \mathbb Z\)

LG b

\(f(x) = 1 - \sin(π + x) + 2\cos \left ( \dfrac{2\pi +x}{2} \right )\)

Phương pháp giải:

Sử dụng mối liên hệ của các góc phụ nhau, bù nhau, hơn kém nhau \(\pi\), hơn kém nhau \(\dfrac{\pi }{2}\) và giải phương trình lượng giác cơ bản

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = \left( 1 \right)' - \left[ {\sin \left( {\pi + x} \right)} \right]' + 2\left[ {\cos \left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)} \right]'\\
= - \left( {\pi + x} \right)'\cos \left( {\pi + x} \right) + 2\left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)'.\left[ { - \sin \left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)} \right]\\
= - \cos \left( {\pi + x} \right) + 2.\dfrac{1}{2}.\left[ { - \sin \left( {\pi + \dfrac{x}{2}} \right)} \right]
\end{array}\)

\(f'(x) = - \cos(π + x) - \sin \left (\pi + \dfrac{x}{2} \right ) = \cos x + \sin  \dfrac{x }{2}\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x +  \sin \dfrac{x }{2} = 0 \Leftrightarrow \sin \dfrac{x }{2} = - cosx\)

\(\Leftrightarrow sin \dfrac{x }{2} = sin \left (x-\dfrac{\pi}{2}\right )\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\dfrac{x}{2} = x - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\
\dfrac{x}{2} = \pi - x + \dfrac{\pi }{2} + k2\pi 
\end{array} \right.
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- \frac{x}{2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\frac{{3x}}{2} = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi - k4\pi \\
x = \pi + \frac{{k4\pi }}{3}
\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow x = \pi + \frac{{k4\pi }}{3}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = 1 - \sin \left( {\pi + x} \right) + 2\cos \left( {\frac{{2\pi + x}}{2}} \right)\\
= 1 + \sin x + 2\cos \left( {\pi + \frac{x}{2}} \right)\\
= 1 + \sin x - 2\cos \frac{x}{2}\\
f'\left( x \right) = \left( {1 + \sin x - 2\cos \frac{x}{2}} \right)'\\
= \left( 1 \right)' + \left( {\sin x} \right)' - 2\left( {\cos \frac{x}{2}} \right)'\\
= 0 + \cos x - 2.\frac{1}{2}\left( { - \sin \frac{x}{2}} \right)\\
= \cos x + \sin \frac{x}{2}\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos x + \sin \frac{x}{2} = 0\\
\Leftrightarrow \cos x = - \sin \frac{x}{2} = - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\pi - \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{x}{2}} \right)} \right)\\
\Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{x}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + \frac{x}{2} + k2\pi \\
x = - \frac{\pi }{2} - \frac{x}{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\frac{{3x}}{2} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi + k4\pi \\
x = - \frac{\pi }{3} + \frac{{k4\pi }}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Chú ý:

Ở họ nghiệm thứ 2 nếu cho \(k=1+l,l\in Z\) thì:

\(x =  - \frac{\pi }{3} + \frac{{k4\pi }}{3} =  - \frac{\pi }{3} + \frac{{\left( {1 + l} \right)4\pi }}{3} \)

\(=  - \frac{\pi }{3} + \frac{{4\pi  + l4\pi }}{3} =  - \frac{\pi }{3} + \frac{{4\pi }}{3} + \frac{{l4\pi }}{3} \)

\(= \pi  + \frac{{l4\pi }}{3}\)

Do đó hai họ nghiệm \(x = \pi + k4\pi\) và \(x= \pi  + \frac{{l4\pi }}{3}\) hợp lại vẫn được họ nghiệm \(x=\pi  + \frac{{l4\pi }}{3}\) trùng với kết quả cách 1.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 13 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài