Bài 6 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11


Chứng minh rằng các hàm số sau

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):

LG a

\(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\)

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của các hàm số đã cho và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {{{\sin }^6}x} \right)' + \left( {{{\cos }^6}x} \right)' + \left( {3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)'\\
= 6{\sin ^5}x\left( {\sin x} \right)' + 6{\cos ^5}x\left( {\cos x} \right)'\\
+ 3.\left[ {\left( {{{\sin }^2}x} \right)'{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x\left( {{{\cos }^2}x} \right)'} \right]\\
= 6{\sin ^5}x\cos x + 6{\cos ^5}x\left( { - \sin x} \right)\\
+ 3\left[ {2\sin x\cos x{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x.2\cos x\left( { - \sin x} \right)} \right]\\
= 6{\sin ^5}x\cos x - 6{\cos ^5}x\sin x\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x - 6\cos x{\sin ^3}x\\
= \left( {6{{\sin }^5}x\cos x - 6\cos x{{\sin }^3}x} \right)\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x - 6{\cos ^5}x\sin x\\
= 6{\sin ^3}x\cos x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right)\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\\
= 6{\sin ^3}x\cos x.\left( { - {{\cos }^2}x} \right)\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x{\sin ^2}x\\
= - 6{\sin ^3}x{\cos ^3}x + 6{\sin ^3}x{\cos ^3}x\\
= 0\\
\Rightarrow y' = 0,\forall x
\end{array}\)

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), tức là \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^6}x + {\cos ^6}x\\
= {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\\
= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\
= {1^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x.1\\
= 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
\Rightarrow y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1\\
\Rightarrow y' = \left( 1 \right)' = 0
\end{array}\)

LG b

\({\cos ^2}\left ( \dfrac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \dfrac{\pi }{3}+x \right ) +  {\cos ^2}\left ( \dfrac{2\pi }{3}-x \right )\) \(+{\cos ^2}  \left ( \dfrac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin x - \sin y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} \)

\(+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} - 2{\sin ^2}x\)

\( = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( - 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\)

\( = 1 + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \cos 2x\)

Do đó \(y' = \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]\) \( - 2\sin 2x\)

\(=\sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}-2x \right )\) \(- \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}+2x \right )- 2\sin 2x \)

\(= 2\cos \dfrac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \dfrac{4\pi }{3}. \sin (-2x) - 2\sin 2x \)

\(= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0\),

(Vì \(\cos \dfrac{2\pi }{3}\) = \(\cos \dfrac{4\pi }{3}\) = \( -\dfrac{1}{2}\).)

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
y= 1 + \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right) + \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\\
+ \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right) + \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)} \right] + \cos 2x\\
= 1 + \dfrac{1}{2}.2\cos \left( {\pi - 2x} \right)\cos \dfrac{\pi }{3}\\
+ \dfrac{1}{2}.2\cos \left( {\pi + 2x} \right)\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos 2x\\
= 1 - \cos 2x.\dfrac{1}{2} - \cos 2x.\dfrac{1}{2} + \cos 2x\\
= 1 - \cos 2x + \cos 2x = 1\\
\Rightarrow y = 1,\forall x\\
\Rightarrow y' = 0,\forall x
\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 27 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.