Bài 6 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11

Bình chọn:
3.7 trên 19 phiếu

Giải bài 6 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng các hàm số sau

Đề bài

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):

a) \(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\);

b) \({\cos ^2}\left ( \dfrac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \dfrac{\pi }{3}+x \right ) +  {\cos ^2}\left ( \dfrac{2\pi }{3}-x \right )\) \(+{\cos ^2}  \left ( \dfrac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính đạo hàm của các hàm số đã cho và rút gọn.

Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin x - \sin y = 2\cos \frac{{x + y}}{2}\sin \frac{{x - y}}{2}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(y' = 6{\sin ^5}x.\cos x - 6{\cos ^5}x.\sin x + 6\sin x.\cos^3x\) \( -  6{\sin ^3}x.\cos x\)

\(= 6{\sin ^3}x.\cos x(\sin^2 x - 1) \)\(+ 6\sin x.\cos^3 x(1 - {\cos ^2}x)\)

\(=  - 6{\sin ^3}x.\cos^3 x + 6{\sin ^3}x.\cos^3 x = 0\).

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), tức là \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).

 b)

\(y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} \)

\(+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} - 2{\sin ^2}x\)

\( = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( - 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\)

\( = 1 + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \cos 2x\)

Do đó \(y' = \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]\) \( - 2\sin 2x\)

\(=\sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}-2x \right )\) \(- \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}+2x \right )- 2\sin 2x \)

\(= 2\cos \dfrac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \dfrac{4\pi }{3}. \sin (-2x) - 2\sin 2x \)

\(= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0\),

(Vì \(\cos \dfrac{2\pi }{3}\) = \(\cos \dfrac{4\pi }{3}\) = \( -\dfrac{1}{2}\).)

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).

 Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.