Bài 6 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11


Giải bài 6 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng các hàm số sau

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):

LG a

\(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\)

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm của các hàm số đã cho và rút gọn.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {{{\sin }^6}x} \right)' + \left( {{{\cos }^6}x} \right)' + \left( {3{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)'\\
= 6{\sin ^5}x\left( {\sin x} \right)' + 6{\cos ^5}x\left( {\cos x} \right)'\\
+ 3.\left[ {\left( {{{\sin }^2}x} \right)'{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x\left( {{{\cos }^2}x} \right)'} \right]\\
= 6{\sin ^5}x\cos x + 6{\cos ^5}x\left( { - \sin x} \right)\\
+ 3\left[ {2\sin x\cos x{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x.2\cos x\left( { - \sin x} \right)} \right]\\
= 6{\sin ^5}x\cos x - 6{\cos ^5}x\sin x\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x - 6\cos x{\sin ^3}x\\
= \left( {6{{\sin }^5}x\cos x - 6\cos x{{\sin }^3}x} \right)\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x - 6{\cos ^5}x\sin x\\
= 6{\sin ^3}x\cos x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right)\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\\
= 6{\sin ^3}x\cos x.\left( { - {{\cos }^2}x} \right)\\
+ 6\sin x{\cos ^3}x{\sin ^2}x\\
= - 6{\sin ^3}x{\cos ^3}x + 6{\sin ^3}x{\cos ^3}x\\
= 0\\
\Rightarrow y' = 0,\forall x
\end{array}\)

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), tức là \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^6}x + {\cos ^6}x\\
= {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\\
= {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\
= {1^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x.1\\
= 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\
\Rightarrow y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1\\
\Rightarrow y' = \left( 1 \right)' = 0
\end{array}\)

LG b

\({\cos ^2}\left ( \dfrac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \dfrac{\pi }{3}+x \right ) +  {\cos ^2}\left ( \dfrac{2\pi }{3}-x \right )\) \(+{\cos ^2}  \left ( \dfrac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin x - \sin y = 2\cos \dfrac{{x + y}}{2}\sin \dfrac{{x - y}}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} \)

\(+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} - 2{\sin ^2}x\)

\( = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( - 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\)

\( = 1 + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)\) \( + \dfrac{1}{2}\cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \cos 2x\)

Do đó \(y' = \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.\left( { - 2} \right).\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\) \( + \dfrac{1}{2}.2.\left[ { - \sin \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)} \right]\) \( - 2\sin 2x\)

\(=\sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \dfrac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}-2x \right )\) \(- \sin \left ( \dfrac{4\pi }{3}+2x \right )- 2\sin 2x \)

\(= 2\cos \dfrac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \dfrac{4\pi }{3}. \sin (-2x) - 2\sin 2x \)

\(= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0\),

(Vì \(\cos \dfrac{2\pi }{3}\) = \(\cos \dfrac{4\pi }{3}\) = \( -\dfrac{1}{2}\).)

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
y= 1 + \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} - 2x} \right) + \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} - 2x} \right)} \right]\\
+ \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\dfrac{{2\pi }}{3} + 2x} \right) + \cos \left( {\dfrac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)} \right] + \cos 2x\\
= 1 + \dfrac{1}{2}.2\cos \left( {\pi - 2x} \right)\cos \dfrac{\pi }{3}\\
+ \dfrac{1}{2}.2\cos \left( {\pi + 2x} \right)\cos \dfrac{\pi }{3} + \cos 2x\\
= 1 - \cos 2x.\dfrac{1}{2} - \cos 2x.\dfrac{1}{2} + \cos 2x\\
= 1 - \cos 2x + \cos 2x = 1\\
\Rightarrow y = 1,\forall x\\
\Rightarrow y' = 0,\forall x
\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 26 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài