Toán lớp 11

Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài 4 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11

Bình chọn:

3.9 trên 30 phiếu

Giải bài 4 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Xem thêm: Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Đề bài

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)\,\,y = \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)\\
b)\,\,y = \left( {6\sqrt x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {7x - 3} \right)\\
c)\,\,y = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \\
d)\,y = {\tan ^2}x - {\cot}{x^2}\\
e)\,\,y = \cos \dfrac{x}{{1 + x}}
\end{array}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của tích, thương, quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp và bảng đạo hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
a)\,\,y = \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)\\y' = \left( {9 - 2x} \right)'\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right) \\+ \left( {9 - 2x} \right)\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right)'\\
= - 2\left( {2{x^3} - 9{x^2} + 1} \right) + \left( {9 - 2x} \right)\left( {6{x^2} - 18x} \right)\\
= - 4{x^3} + 18{x^2} - 2 + 54{x^2} - 162x - 12{x^3} + 36{x^2}\\
= - 16{x^3} + 108{x^2} - 162x - 2\\
b)\,\,y = \left( {6\sqrt x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {7x - 3} \right)\\y' = \left( {6\sqrt x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)'\left( {7x - 3} \right) \\+ \left( {6\sqrt x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\left( {7x - 3} \right)'\\
= \left( {\frac{3}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{{x^3}}}} \right)\left( {7x - 3} \right) + 7\left( {6\sqrt x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\\
= 21\sqrt x - \frac{9}{{\sqrt x }} + \frac{{14}}{{{x^2}}} - \frac{6}{{{x^3}}} + 42\sqrt x - \frac{7}{{{x^2}}}\\
= \frac{{ - 6}}{{{x^3}}} + \frac{7}{{{x^2}}} + 63\sqrt x - \frac{9}{{\sqrt x }}\\
c)\,\,y = \left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 1} \\y' = \left( {x - 2} \right)'\sqrt {{x^2} + 1} + \left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'\\
= \sqrt {{x^2} + 1} + \left( {x - 2} \right)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
= \frac{{{x^2} + 1 + {x^2} - 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
= \frac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\\
d)\,y = {\tan ^2}x - \cot {x^2}\\y' = 2\tan x.\left( {\tan x} \right)' - \left( {\cot {x^2}} \right)'\\
= 2\tan x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}x^2}}\\
= \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} + \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}x^2}}\\
e)y = \cos \dfrac{x}{{1 + x}}\\y' = \left( {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right)'.\left( { - \sin \dfrac{x}{{x + 1}}} \right)\\
= - \sin \dfrac{x}{{1 + x}}.\left( {\dfrac{{1 + x - x}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}} \right)\\
= - \dfrac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}.\sin \dfrac{x}{{1 + x}}
\end{array}\)