Bài 6 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11

Bình chọn:
3.8 trên 17 phiếu

Giải bài 6 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol

Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y =  \dfrac{1}{x}\):

a) Tại điểm \((  \dfrac{1}{2} ; 2)\)

b) Tại điểm có hoành độ bằng \(-1\);

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng \( -\dfrac{1}{4}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a, b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x_0\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = 3\).

Giải phương trình tìm \(x_0\), từ đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\).

Lời giải chi tiết

Xét giới hạn:

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{{x_0} - x}}{{x.{x_0}\left( {x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{ - 1}}{{x.{x_0}}} = - \dfrac{1}{{x_0^2}}\\
\Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = - \dfrac{1}{{x_0^2}}
\end{array}\)

a) Ta có: \(y'  \left ( \dfrac{1}{2} \right )= -4\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \((\dfrac{1}{2} ; 2)\) là \(y =  - 4\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) + 2 =  - 4x + 4\)

b) Ta có: \(y' (-1) = -1, y(-1)=-1\).

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là \(-1\) là: \(y =  - \left( {x + 1} \right) - 1 =  - x - 2\).

c) Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có

\(y' (x_0) = -  \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow -  \dfrac{1}{x_{0}^{2}} = -  \dfrac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}=  ±2\).

Với \(x_{0}= 2\) ta có \(y(2) =  \dfrac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là \(y =  - \dfrac{1}{4}\left( {x - 2} \right) + \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{4}x + 1\).

Với \(x_{0} = -2\) ta có \(y (-2) = - \dfrac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là: \(y =  - \dfrac{1}{4}\left( {x + 2} \right) - \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{4}x - 1\).

Chú ý: Trong các ý a, b, c đều sử dụng cách tính đạo hàm của hàm số tại điểm \(x=x_0\) bằng định nghĩa. Sau khi học xong bài 2 thì các em có thể quay lại làm lại bài tập này, việc tính đạo hàm sẽ dễ hơn rất nhiều.

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu