
Đề bài
Chứng minh rằng hàm số
\[f(x) = \left\{ \matrix{
{(x - 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr
- {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\]
không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Điều kiện cần để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x=x_0\) là hàm số liên tục tại \(x=x_0\).
Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số có đạo hàm tại \(x=x_0\):
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( x_0 \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x_0\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {0 - 1} \right)^2} = 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = - {0^2} = 0\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)
\end{array}\)
Do đó hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\).
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) (vi phạm điều kiện cần).
Xét giới hạn:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x = 2
\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).
Loigiaihay.com
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol
Một vật rơi tự do theo phương trình
Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra
Giải bài 2 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính ∆y và
Tìm số gia của hàm số f(x) =
Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của các hàm số:...
Cho hàm số...
Viết phương trình đường thẳng...
Vẽ đồ thị của hàm số...
Cho hàm số...
Một đoàn tàu chuyển động khởi hành từ một nhà ga...
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: