Bài 4 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11

Bình chọn:
3.9 trên 16 phiếu

Giải bài 4 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng hàm số

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số 

\[f(x) = \left\{ \matrix{
{(x - 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr 
- {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\]

không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Điều kiện cần để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x=x_0\) là hàm số liên tục tại \(x=x_0\).

Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số có đạo hàm tại \(x=x_0\):

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( x_0 \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x_0\).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {0 - 1} \right)^2} = 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = - {0^2} = 0\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)
\end{array}\)

Do đó hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\).

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) (vi phạm điều kiện cần).

Xét giới hạn: 

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x = 2
\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.