Lớp 12
Lớp 11
Lớp 10
Lớp 9
Lớp 8
Lớp 7
Lớp 6
Lớp 5
Lớp 4
Lớp 3
Lớp 2
Lớp 1
Xem thêm: Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Đề bài
Chứng minh rằng hàm số
\[f(x) = \left\{ \matrix{
{(x - 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr
- {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\]
không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Điều kiện cần để hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x=x_0\) là hàm số liên tục tại \(x=x_0\).
Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số có đạo hàm tại \(x=x_0\):
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( x_0 \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x_0\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {0 - 1} \right)^2} = 1\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = - {0^2} = 0\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)
\end{array}\)
Do đó hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\).
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) (vi phạm điều kiện cần).
Xét giới hạn:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x = 2
\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\).
Loigiaihay.com
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay
Các bài liên quan: - Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Bài 5 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 5 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
Bài 6 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 6 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol
Bài 7 trang 157 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 7 trang 157 SGK Đại số và Giải tích 11. Một vật rơi tự do theo phương trình
Bài 3 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 3 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra
>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Các bài khác cùng chuyên mục
