Bài 3 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11


Giải bài 3 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

LG a

\(y = x^2+ x\) tại \(x_0= 1\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2: Lập tỉ số \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Kết luận \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0 = 1\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\
\,\,\,\,\,\, = {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} + \left( {1 + \Delta x} \right) - {1^2} - 1\\
\,\,\,\,\, = 1 + 2\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 1 + \Delta x - 2\\
\,\,\,\,\, = \Delta x\left( {\Delta x + 3} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \Delta x + 3\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 3} \right) = 3
\end{array}\)

Vậy \(f'(1) = 3\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = {x^2} + x \Rightarrow f\left( 1 \right) = 2\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right)\\
= 1 + 2\\
= 3\\
\Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3
\end{array}\)

LG b

\(y =  \dfrac{1}{x}\) tại \(x_0= 2\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{2 + \Delta x}} - \dfrac{1}{2}\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2 - 2 - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}} = \dfrac{{ - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\dfrac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4}
\end{array}\)

Vậy \(f'(2) = -   \dfrac{1}{4}\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \Rightarrow f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2}}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{{2 - x}}{{2x}}}}{{ - \left( {2 - x} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( { - \dfrac{1}{{2x}}} \right)\\
= - \dfrac{1}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4}\\
\Rightarrow f'\left( 2 \right) = - \dfrac{1}{4}
\end{array}\)

LG c

\(y = \dfrac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 0\).Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {\Delta x} \right) - f\left( 0 \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} - \dfrac{{0 + 1}}{{0 - 1}}\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} + 1\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1 + \Delta x - 1}}{{\Delta x - 1}} = \dfrac{{2\Delta x}}{{\Delta x - 1}}\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\Delta x - 1}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\dfrac{2}{{\Delta x - 1}}} \right) = \dfrac{2}{{ - 1}} = - 2
\end{array}\)

Vậy \(f'(0) = -2\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow f\left( 0 \right) = - 1\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} + 1}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1 + x - 1}}{{x - 1}}}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{2x}}{{x - 1}}}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{x - 1}}\\
= \dfrac{2}{{0 - 1}} = - 2\\
\Rightarrow f'\left( 0 \right) = - 2
\end{array}\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 25 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài