Bài 3 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11


Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

LG a

\(y = x^2+ x\) tại \(x_0= 1\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2: Lập tỉ số \(\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Kết luận \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0 = 1\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\
\,\,\,\,\,\, = {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} + \left( {1 + \Delta x} \right) - {1^2} - 1\\
\,\,\,\,\, = 1 + 2\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 1 + \Delta x - 2\\
\,\,\,\,\, = \Delta x\left( {\Delta x + 3} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \Delta x + 3\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 3} \right) = 3
\end{array}\)

Vậy \(f'(1) = 3\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = {x^2} + x \Rightarrow f\left( 1 \right) = 2\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right)\\
= 1 + 2\\
= 3\\
\Rightarrow f'\left( 1 \right) = 3
\end{array}\)

LG b

\(y =  \dfrac{1}{x}\) tại \(x_0= 2\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{2 + \Delta x}} - \dfrac{1}{2}\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2 - 2 - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}} = \dfrac{{ - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\dfrac{{ - 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4}
\end{array}\)

Vậy \(f'(2) = -   \dfrac{1}{4}\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \Rightarrow f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2}}}{{x - 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{{2 - x}}{{2x}}}}{{ - \left( {2 - x} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( { - \dfrac{1}{{2x}}} \right)\\
= - \dfrac{1}{{2.2}} = - \dfrac{1}{4}\\
\Rightarrow f'\left( 2 \right) = - \dfrac{1}{4}
\end{array}\)

LG c

\(y = \dfrac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 0\).Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {\Delta x} \right) - f\left( 0 \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} - \dfrac{{0 + 1}}{{0 - 1}}\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x - 1}} + 1\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1 + \Delta x - 1}}{{\Delta x - 1}} = \dfrac{{2\Delta x}}{{\Delta x - 1}}\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\Delta x - 1}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\dfrac{2}{{\Delta x - 1}}} \right) = \dfrac{2}{{ - 1}} = - 2
\end{array}\)

Vậy \(f'(0) = -2\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow f\left( 0 \right) = - 1\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} + 1}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1 + x - 1}}{{x - 1}}}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{2x}}{{x - 1}}}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{x - 1}}\\
= \dfrac{2}{{0 - 1}} = - 2\\
\Rightarrow f'\left( 0 \right) = - 2
\end{array}\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 35 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí