Bài 1 trang 147 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB = 2R.

Đề bài

Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB = 2R. Lấy điểm C trên đường tròn sao cho CA < CB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại H.

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và \(C{D^2} = 4HA.HB\).

b) Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên (d). Xét vị trí tương đối của đường tròn (A ; AM) và đường tròn (B ; BN).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) +) Chứng minh \(\angle ACB = {90^0}\).

    +) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

b) +) Dựa vào các đường thẳng song song và tính chất tam giác cân, chứng minh \(\angle MAC = \angle HAC\).

    +) Chứng minh \({\Delta _v}AMC = {\Delta _v}AHC\)\( \Rightarrow AM = AH\).

    +) Tương tự chứng minh \({\Delta _v}BNC = {\Delta _v}BHC \Rightarrow BN = BH\).

    +) Chứng minh \(AM + BN = AB\). Từ đó suy ra vị trí tương đối của \(\left( {A;AM} \right)\) và \(\left( {B;BN} \right)\).

Lời giải chi tiết

 

a) Do \(C\) thuộc đường tròn đường kính \(AB \Rightarrow \angle ACB = {90^0}\).

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\).

 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có: \(C{H^2} = HA.HB\).

Vì \(AB \bot CD\) tại \(H \Rightarrow H\) là trung điểm của \(CD\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow C{D^2} = {\left( {2CH} \right)^2}\)\(\, = 4C{H^2} = 4HA.HB\) (đpcm).

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot d\\OC \bot d\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow AM//OC \Rightarrow \angle MAC = \angle OCA\) (so le trong).

Lại có \(OA = OC = R \Rightarrow \Delta OAC\) cân tại \(O \Leftrightarrow \angle OCA = \angle OAC\).

\( \Rightarrow \angle MAC = \angle OAC = \angle HAC\).

Xét hai tam giác vuông \(\Delta AMC\) và \({\Delta}AHC\) có :

\(\begin{array}{l}AC\,\,chung\\\angle MAC = \angle HAC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {\Delta _v}AMC = {\Delta _v}AHC\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow AM = AH\).

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được \({\Delta _v}BNC = {\Delta _v}BHC \Rightarrow BN = BH\).

Xét \(\left( {A;AM} \right)\) và \(\left( {B;BN} \right)\) có \(AM + BN = AH + BH = AB \)

\(\Rightarrow \left( {A;AM} \right)\) và \(\left( {B;BN} \right)\) tiếp xúc ngoài tại \(H\).

 Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến lớp 9, luyện vào lớp 10, mọi lúc, mọi nơi môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa  cùng các Thầy, Cô giáo giỏi nổi tiếng, dạy hay, dễ hiểu, dày dặn kinh nghiệm tại Tuyensinh247.com