Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp

Lý thuyết một số phương trình lượng giác thường gặp


1. Các dạng phương trình lượng giác thường gặp

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

\(at + b = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Trong đó, \(a,b\) là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\) và \(t\) là một trong các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

Chia cả hai vế cho \(a\) ta được được \(\left( 1 \right)\) về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}2\cos x - \sqrt 3  = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array}\)

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}5\sin x - \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow 5\sin x - 2\sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {5 - 2\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\5 - 2\cos x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = \frac{5}{2}\left( {VN\,vi\,\frac{5}{2} > 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in Z\end{array}\)

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

\(a{t^2} + bt + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Trong đó \(a,b,c\) là các hằng số và \(t\) là một trong số các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

- Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn (nếu có).

- Giải phương trình với ẩn phụ.

- Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ:

\({\tan ^2}x - \tan x - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = \tan x\) thì (1) là:

\({t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\\tan x = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan 2 + k\pi \end{array} \right.,k \in Z\end{array}\)

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI \(\sin x\) VÀ \(\cos x\)

Xét phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\)

+) Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

+) Gọi \(α\) là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vecto \(\overrightarrow {OM}  = (a;b)\) thì phương trình trở thành một phương trình đã biết cách giải:

\(\sin (x + \alpha ) = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Chú ý : Để phương trình \(\sin (x + a) = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

\(\left| {{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right| \le 1\)

\(\Leftrightarrow \left| c \right| \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \)

\(\Leftrightarrow {c^2} \le {a^2} + {b^2}\)

Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.8 trên 35 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua