Bài 4 trang 37 SGK Đại số và Giải tích 11

Bình chọn:
4 trên 54 phiếu

Giải bài 4 trang 37 SGK Đại số và Giải tích 11. Giải các phương trình sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

\(2si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sinxcosx{\rm{ }} - {\rm{ }}3co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với sin và cos: \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\)

Bước 1: Xét \(\cos x = 0\) có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi \(\cos x \ne 0\).

- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được: \(a\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + b\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + c = \frac{d}{{{{\cos }^2}x}}\)

- Sử dụng công thức \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}};\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\) đưa phương trình về dạng: 

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0
\end{array}\)

- Đặt \(t=tanx\), giải phương trình bậc hai ẩn t và tìm các nghiệm t.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải chi tiết:

\(2{\sin ^2}x + \sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0\)

Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(2.1 + 0 - 0 = 0\) (vô nghiệm)

\( \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\sin x} \over {\cos x}} - 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0\)

Đặt \(t = \tan x,\) khi đó phương trình trở thành: \(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 1 \hfill \cr   t =  - {3 \over 2} \hfill \cr}  \right.\)

Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Với \(t =  - {3 \over 2} \Rightarrow \tan x =  - {3 \over 2}\)

\(\Leftrightarrow x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

LG b

\(3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\);

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với sin và cos: \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\)

Bước 1: Xét \(\cos x = 0\) có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi \(\cos x \ne 0\).

- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được: \(a\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + b\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + c = \frac{d}{{{{\cos }^2}x}}\)

- Sử dụng công thức \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}};\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\) đưa phương trình về dạng: 

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0
\end{array}\)

- Đặt \(t=tanx\), giải phương trình bậc hai ẩn t và tìm các nghiệm t.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải chi tiết:

\(3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2\)

Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(3.1 - 0 + 0 = 2\) (vô nghiệm)

\( \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,\,3{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - 4{{\sin x} \over {\cos x}} + 5 = {2 \over {{{\cos }^2}x}}  \cr   &  \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 4\tan x + 5 = 2\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 4\tan x + 3 = 0 \cr} \)

Đặt \(t = \tan x,\) khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 1 \hfill \cr   t = 3 \hfill \cr}  \right.\)

Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Với \(t = 3 \Rightarrow \tan x = 3 \)

\(\Leftrightarrow x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

LG c

\(si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\) ;

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với sin và cos: \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\)

Bước 1: Xét \(\cos x = 0\) có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi \(\cos x \ne 0\).

- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được: \(a\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + b\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + c = \frac{d}{{{{\cos }^2}x}}\)

- Sử dụng công thức \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}};\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\) đưa phương trình về dạng: 

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0
\end{array}\)

- Đặt \(t=tanx\), giải phương trình bậc hai ẩn t và tìm các nghiệm t.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \,\,{\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 4\sin x\cos x - 4{\cos ^2}x = 1 \cr} \)

 Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(2 + 0 - 0 = 1\) (vô nghiệm)

\( \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,\,2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + 4{{\sin x} \over {\cos x}} - 4 = {1 \over {{{\cos }^2}x}}  \cr   &  \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + 4\tan x - 4 = {\tan ^2}x + 1  \cr   &  \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 4\tan x - 5 = 0 \cr} \)

Đặt \(t = \tan x,\) khi đó phương trình trở thành: \({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 1 \hfill \cr   t =  - 5 \hfill \cr}  \right.\)

Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)\)

Với \(t =  - 5 \Rightarrow \tan x =  - 5\)

\(\Leftrightarrow x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

LG d

\(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\).

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình đẳng cấp đối với sin và cos: \(a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d\)

Bước 1: Xét \(\cos x = 0\) có là nghiệm của phương trình hay không?

Bước 2: Khi \(\cos x \ne 0\).

- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được: \(a\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + b\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + c = \frac{d}{{{{\cos }^2}x}}\)

- Sử dụng công thức \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}};\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\) đưa phương trình về dạng: 

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0
\end{array}\)

- Đặt \(t=tanx\), giải phương trình bậc hai ẩn t và tìm các nghiệm t.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \,\,2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x =  - 4  \cr   &  \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x - 4{\sin ^2}x =  - 4 \cr} \)

Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó ta có \(0 + 0 - 4 =  - 4 \Rightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.

Khi \(\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,\,2 - 6\sqrt 3 {{\sin x} \over {\cos x}} - 4{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{ - 4} \over {{{\cos }^2}x}}  \cr   &  \Leftrightarrow 2 - 6\sqrt 3 \tan x - 4{\tan ^2}x =  - 4{\tan ^2}x - 4  \cr   &  \Leftrightarrow 6\sqrt 3 \tan x = 6  \cr   &  \Leftrightarrow \tan x = {1 \over {\sqrt 3 }}  \cr   &  \Leftrightarrow x = {\pi  \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) hoặc \(x = {\pi  \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Gửi văn hay nhận ngay phần thưởng