Giải bài 4 trang 37 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

$2si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sinxcosx{\rm{ }} - {\rm{ }}3co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}0$;

Phương pháp giải:

Phương trình: $a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x = d$

TH 1: Xét $\cos x = 0$ có là nghiệm của phương trình hay không?

TH 2: Khi $\cos x \ne 0$.

+ Bước 1: Chia cả 2 vế của phương trình cho ${\cos ^2}x$

Ta được: $a\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + b\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + c = \frac{d}{{{{\cos }^2}x}}$

-Vì $\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}};\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1$ nên ta đưa phương trình về dạng:

$\begin{array}{l} \,\,\,\,\,a{\tan ^2}x + b\tan x + c = d\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a - d} \right){\tan ^2}x + b\tan x + c - d = 0 \end{array}$

+ Bước 2: Đặt $t=tanx$, giải phương trình bậc hai ẩn t và tìm các nghiệm t.

+ Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản của tan: $\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ và đối chiếu với điều kiện.

Lời giải chi tiết:

$2{\sin ^2}x + \sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0$

+ TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, khi đó ta có $2.1 + 0 - 0 = 0$ (vô nghiệm)

$\Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

+ TH2: Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x$ ta được:

$2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + {{\sin x} \over {\cos x}} - 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0$

Đặt $t = \tan x,$ khi đó phương trình trở thành: $2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 1 \hfill \cr   t =  - {3 \over 2} \hfill \cr}  \right.$

Với $t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)$

Với $t =  - {3 \over 2} \Rightarrow \tan x =  - {3 \over 2}$

$\Leftrightarrow x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ hoặc $x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$.

Quảng cáo

LG b

$3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2$;

Lời giải chi tiết:

$3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2$

Khi $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, khi đó ta có $3.1 - 0 + 0 = 2$ (vô nghiệm)

$\Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x$ ta được:

$\eqalign{  & \,\,\,\,\,\,3{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - 4{{\sin x} \over {\cos x}} + 5 = {2 \over {{{\cos }^2}x}}  \cr   &  \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 4\tan x + 5 = 2\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 4\tan x + 3 = 0 \cr}$

Đặt $t = \tan x,$ khi đó phương trình trở thành: ${t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 1 \hfill \cr   t = 3 \hfill \cr}  \right.$

Với $t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1$

$\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)$

Với $t = 3 \Rightarrow \tan x = 3$

$\Leftrightarrow x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ hoặc $x = \arctan 3 + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$.

Cách 2:

Ta có thể đưa về cùng dạng với câu a, như sau:

$\begin{array}{l} 3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 5{\cos ^2}x = 2{\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 3{\cos ^2}x = 0 \end{array}$

Sau đó giải phương trình tương tự như câu .

LG c

$si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}$ ;

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{  & \,\,{\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x - 2{\cos ^2}x = {1 \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 4\sin x\cos x - 4{\cos ^2}x = 1 \cr}$

+TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, khi đó ta có $2 + 0 - 0 = 1$ (vô nghiệm)

$\Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

+TH2: Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x$ ta được:

$\eqalign{  & \,\,\,\,\,\,2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} + 4{{\sin x} \over {\cos x}} - 4 = {1 \over {{{\cos }^2}x}}  \cr   &  \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + 4\tan x - 4 = {\tan ^2}x + 1  \cr   &  \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 4\tan x - 5 = 0 \cr}$

Đặt $t = \tan x,$ khi đó phương trình trở thành: ${t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  t = 1 \hfill \cr   t =  - 5 \hfill \cr}  \right.$

Với $t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)$

Với $t =  - 5 \Rightarrow \tan x =  - 5$

$\Leftrightarrow x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = {\pi  \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ hoặc $x = \arctan \left( { - 5} \right) + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$.

Cách 2:

$\begin{array}{l} {\sin ^2}x + \sin 2x - 2{\cos ^2}x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 2\sin 2x - 4{\cos ^2}x = 1\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 2.2\sin x\cos x - 4{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 4\sin x\cos x - 5{\cos ^2}x = 0 \end{array}$

Sau đó thực hiện giải câu hỏi như câu a.

LG d

$2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4$.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{  & \,\,2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x =  - 4  \cr   &  \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x - 4{\sin ^2}x =  - 4 \cr}$

Khi $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, khi đó ta có $0 + 0 - 4 =  - 4 \Rightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ là nghiệm của phương trình.

Khi $\cos x \ne 0 \Rightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$

Chia cả hai vế của phương trình cho ${\cos ^2}x$ ta được:

$\eqalign{  & \,\,\,\,\,\,2 - 6\sqrt 3 {{\sin x} \over {\cos x}} - 4{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{ - 4} \over {{{\cos }^2}x}}  \cr   &  \Leftrightarrow 2 - 6\sqrt 3 \tan x - 4{\tan ^2}x =  - 4{\tan ^2}x - 4  \cr   &  \Leftrightarrow 6\sqrt 3 \tan x = 6  \cr   &  \Leftrightarrow \tan x = {1 \over {\sqrt 3 }}  \cr   &  \Leftrightarrow x = {\pi  \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$ hoặc $x = {\pi  \over 6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)$.

Cách 2:

$\begin{array}{l} 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x - 4{\sin ^2}x = - 4\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 .2\sin x\cos x - 4{\sin ^2}x = - 4\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x - 4{\sin ^2}x = - 4{\sin ^2}x - 4{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow 6{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 6\cos x\left( {\cos x - \sqrt 3 \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos x - \sqrt 3 \sin x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos x = \sqrt 3 \sin x \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cot x = \sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Loigiaihay.com