Giải bài 5 trang 37 SGK Đại số và Giải tích 11


Giải các phương trình sau.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

\(cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2\);  

Phương pháp giải:

Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: \(a\sin x + b\cos x = c\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\)

- Chia cả hai vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), khi đó phương trình có dạng:

\(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

- Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \\\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \end{array} \right.\) và sử dụng công thức \(\sin x\cos \alpha  + \cos x\sin \alpha  = \sin \left( {x + \alpha } \right)\) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.

Hoặc đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \\\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \end{array} \right.\) và sử dụng công thức \(\sin x\sin \alpha  + \cos x\cos \alpha  = \cos \left( {x - \alpha } \right)\) và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \,\,\cos x - \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2   \cr   &  \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin x = {{\sqrt 2 } \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow \cos x\cos {\pi  \over 3} - \sin x\sin {\pi  \over 3} = {{\sqrt 2 } \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi  \over 3}} \right) = \cos {\pi  \over 4}  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x + {\pi  \over 3} = {\pi  \over 4} + k2\pi  \hfill \cr   x + {\pi  \over 3} =  - {\pi  \over 4} + k2\pi  \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x =  - {\pi  \over {12}} + k2\pi  \hfill \cr   x =  - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi  \hfill \cr}  \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - {\pi  \over {12}} + k2\pi \)  hoặc \(x =  - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

LG b

\(3sin3x - 4cos3x = 5\);

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \,\,3\sin 3x - 4\cos 3x = 5  \cr   &  \Leftrightarrow {3 \over 5}\sin 3x - {4 \over 5}\cos 3x = 1 \cr} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{  \sin \alpha  = {3 \over 5} \hfill \cr   \cos \alpha  = {4 \over 5} \hfill \cr}  \right.\), phương trình trở thành

\(\eqalign{  & \sin 3x\sin \alpha  - \cos 3x\cos \alpha  = 1  \cr   &   \Leftrightarrow \cos 3x\cos \alpha  - \sin 3x\sin \alpha  =  - 1\cr &\Leftrightarrow \cos \left( {3x + \alpha } \right) =  - 1  \cr   &  \Leftrightarrow 3x + \alpha  = \pi  + k2\pi   \cr   &  \Leftrightarrow 3x = \pi  - \alpha  + k2\pi   \cr   &  \Leftrightarrow x = {{\pi  - \alpha } \over 3} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)  

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {{\pi  - \alpha } \over 3} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\left( {k \in Z} \right)\)  (Với \(\sin \alpha  = {3 \over 5};\,\,\cos \alpha  = {4 \over 5}\)).

Chú ý:

Có thể đặt cách khác như sau:

Đặt \(\left\{ \matrix{  \cos \beta  = {3 \over 5} \hfill \cr   \sin \beta  = {4 \over 5} \hfill \cr}  \right.\), phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}
\sin 3x\cos \beta - \cos 3x\sin \beta = 1\\
\Leftrightarrow \sin \left( {3x - \beta } \right) = 1\\
\Leftrightarrow 3x - \beta = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + \beta + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{\beta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}
\end{array}\)

LG c

\(2sinx + 2cosx - \sqrt2 = 0\);

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & 2\sin x + 2\cos x - \sqrt 2  = 0  \cr   & \Leftrightarrow 2\sin x + 2\cos x = \sqrt 2  \cr &\Leftrightarrow \frac{2}{{2\sqrt 2 }}\sin x + \frac{2}{{2\sqrt 2 }}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}\cr &  \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {1 \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow \sin x\sin {\pi  \over 4} + \cos x\cos {\pi  \over 4} = {1 \over 2}  \cr   &  \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = \cos {\pi  \over 3}  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x - {\pi  \over 4} = {\pi  \over 3} + k2\pi  \hfill \cr   x - {\pi  \over 4} =  - {\pi  \over 3} + k2\pi  \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi  \hfill \cr   x =  - {\pi  \over {12}} + k2\pi  \hfill \cr}  \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \) hoặc \(x =  - {\pi  \over {12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right).\)

LG d

\(5cos2x + 12sin2x -13 = 0\).

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \,\,5\cos 2x + 12\sin 2x - 13 = 0  \cr   &  \Leftrightarrow {5 \over {13}}\cos 2x + {{12} \over {13}}\sin 2x = 1 \cr} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{  {5 \over {13}} = \cos \alpha  \hfill \cr   {{12} \over {13}} = \sin \alpha  \hfill \cr}  \right.\) , khi đó phương trình trở thành

\(\eqalign{  & \,\,\,\cos 2x\cos \alpha  + \sin 2x\sin \alpha  = 1  \cr   &  \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \alpha } \right) = 1  \cr   &  \Leftrightarrow 2x - \alpha  = k2\pi   \cr   &  \Leftrightarrow x = {\alpha  \over 2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\alpha  \over 2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\) với \(\sin \alpha  = {{12} \over {13}};\,\,\cos \alpha  = {5 \over {13}}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.7 trên 64 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.