Bài 3.53 trang 78 SBT đại số 10


Đề bài

Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x+(3m + 1)y = m - 1\\(m + 2)x + (4m + 3)y = m\end{array} \right.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hướng dẫn: Giải và biện luận theo m có nghĩa là xét xem với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm, với giá trị nào của m thì hệ phương trình có 1 nghiệm, giá trị nghiệm là bao nhiêu, với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

Để giải và biện luận hệ phương trình trên ta dùng phương pháp cộng đại số để khử một ẩn.

Lời giải chi tiết

Nhân phương trình thứ nhất của hệ với m + 2, nhân phương trình thứ hai với 2 ta được hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2(m + 2)x + (3m + 1)(m + 2)y = (m - 1)(m + 2)\\2(m + 2)x + 2(4m + 3)y = 2m\end{array} \right.\)

Trừ hai phương trình vế theo vế ta được phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left( {3m + 1} \right)\left( {m + 2} \right)y - 2\left( {4m + 3} \right)y = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) - 2m\\
\Leftrightarrow \left( {3{m^2} + 7m + 2} \right)y - \left( {8m + 6} \right)y = {m^2} + m - 2 - 2m\\
\Leftrightarrow \left( {3{m^2} + 7m + 2 - 8m - 6} \right)y = {m^2} - m - 2\\
\Leftrightarrow \left( {3{m^2} - m - 4} \right)y = {{m^2} - m - 2}
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow (m+1)(3m-4)y = (m + 1)(m - 2)\) (1)

+Với  \(m =  - 1\) phương trình (1) có dạng:

\(0y = 0\)

Phương trình này nhận mọi giá trị thực của y làm nghiệm.

Lúc đó thay \(m =  - 1\) vào hệ phương trình đã cho, hai phương trình trở thành một phương trình.

\(x - y =  - 1\) \( \Leftrightarrow y = x + 1\), \(x\)  tùy ý.

+Với  \(m = \dfrac{4}{3}\) phương trình (1) có dạng.

\(0y =  - \dfrac{{14}}{9}\).

Phương trình này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

+Với \(m \ne  - 1\) và \(m \ne \dfrac{4}{3}\), phương trình (1) có nghiệm duy nhất

\(y = \dfrac{{m - 2}}{{3m - 4}}\)

Thay vào một trong hai phương trình của hệ đã cho ta suy ra

\(x = \dfrac{{ - m + 3}}{{3m - 4}}\).

Kết luận

\(m = \dfrac{4}{3}\): Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

\(m =  - 1\): Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm

\(x = a,y = a + 1\), a là số thực tùy ý.

\(m \ne  - 1\),\(m \ne \dfrac{4}{3}\): Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \((x;y) = (\dfrac{{3 - m}}{{3m - 4}};\dfrac{{m - 2}}{{3m - 4}})\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.