Giải SBT toán hình học và đại số 10 cơ bản Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Bài 2.35 trang 102 SBT hình học 10


Giải bài 2.35 trang 102 sách bài tập hình học 10. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:

LG a

\(\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\);

Phương pháp giải:

- Chứng minh công thức \(a = b\cos C + c\cos B\).

- Sử dụng định lý sin trong tam giác \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\) và thay vào đẳng thức trên.

Giải chi tiết:

Ta chứng minh công thức: \(a = b\cos C + c\cos B\)

Thật vậy, \(\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\) \(\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Do đó \(b\cos C + c\cos B\) \( = b.\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + c.\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)

\( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\) \( = \dfrac{{2{a^2}}}{{2a}} = a\) nên \(a = b\cos C + c\cos B\).

Theo định lý sin ta có: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Do đó: \(a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\).

Thay các giá trị này vào công thức \(a = b\cos C + c\cos B\) ta có:

\(2R\sin A = 2R\sin B\cos C + 2R\sin C\cos B\)

\( \Rightarrow \sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos C.\)

Chú ý: Các em cũng có thể sử dụng phối hợp định lý cô sin và định lý sin trong tam giác để thay trực tiếp vào vế phải của đẳng thức cần chứng minh rồi biến đổi về vế trái.

LG b

\({h_a} = 2R\sin B\sin C\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}a{h_a}\) và \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)\( \Rightarrow \sin B = \dfrac{b}{{2R}},\sin C = \dfrac{c}{{2R}}\)

Khi đó \(2R\sin B\sin C\) \( = 2R.\dfrac{b}{{2R}}.\dfrac{c}{{2R}} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\).

Lại có: \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}a{h_a}\) \( \Rightarrow \dfrac{{bc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}{h_a} \Leftrightarrow {h_a} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\)

Vậy \({h_a} = 2R\sin B\sin C\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store