Bài 2.35 trang 102 SBT hình học 10


Giải bài 2.35 trang 102 sách bài tập hình học 10. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:

LG a

\(\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\);

Phương pháp giải:

- Chứng minh công thức \(a = b\cos C + c\cos B\).

- Sử dụng định lý sin trong tam giác \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\) và thay vào đẳng thức trên.

Giải chi tiết:

Ta chứng minh công thức: \(a = b\cos C + c\cos B\)

Thật vậy, \(\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\) \(\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Do đó \(b\cos C + c\cos B\) \( = b.\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + c.\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)

\( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\) \( = \dfrac{{2{a^2}}}{{2a}} = a\) nên \(a = b\cos C + c\cos B\).

Theo định lý sin ta có: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Do đó: \(a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\).

Thay các giá trị này vào công thức \(a = b\cos C + c\cos B\) ta có:

\(2R\sin A = 2R\sin B\cos C + 2R\sin C\cos B\)

\( \Rightarrow \sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos C.\)

Chú ý: Các em cũng có thể sử dụng phối hợp định lý cô sin và định lý sin trong tam giác để thay trực tiếp vào vế phải của đẳng thức cần chứng minh rồi biến đổi về vế trái.

LG b

\({h_a} = 2R\sin B\sin C\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}a{h_a}\) và \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)\( \Rightarrow \sin B = \dfrac{b}{{2R}},\sin C = \dfrac{c}{{2R}}\)

Khi đó \(2R\sin B\sin C\) \( = 2R.\dfrac{b}{{2R}}.\dfrac{c}{{2R}} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\).

Lại có: \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}a{h_a}\) \( \Rightarrow \dfrac{{bc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}{h_a} \Leftrightarrow {h_a} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\)

Vậy \({h_a} = 2R\sin B\sin C\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.