Bài 1.24 trang 31 SBT hình học 10


Đề bài

Cho hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\). Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow 0 \) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Gọi \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\).

- Xen điểm thích hợp và chứng minh \(\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \).

Lời giải chi tiết

Gọi \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\). Ta có:

\(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'A'} \)

\(\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'B'} \)

\(\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'C'} \).

Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta được:

\(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} \)\( = \left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG} } \right)\) \( + 3\overrightarrow {GG'}  + \left( {\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'} } \right)\)\( = \overrightarrow 0  + 3\overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow 0  = 3\overrightarrow {GG'} \) 

Do đó, nếu \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \) hay \(G \equiv G'\).

Chú ý: Từ chứng minh trên cũng suy ra rằng nếu hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\)có cùng trọng tâm thì \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow 0 \).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 9 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.