Bài 5 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11


Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

LG a

\(u_n= 2n^2-1\)

Phương pháp giải:

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\,\,\forall n \in N^*\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới  nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\,\,\forall n \in N^*\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M\,\,\forall n \in N^*\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(n \ge 1 \Rightarrow {n^2} \ge 1 \Rightarrow 2{n^2} \ge 2 \)

\(\Rightarrow 2{n^2} - 1 \ge 1 \Rightarrow {u_n} \ge 1,\forall n \in {N^*}\)

Do đó \((u_n)\) bị chặn dưới bởi 1.

Ngoài ra, \((u_n)\) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để \(2n^2-1 < M\) với mọi \(n\in N^*\).

LG b

\( u_n=\dfrac{1}{n(n+2)}\)

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \(u_n > 0 \,\, \forall n \in N^*\).
Mặt khác, vì:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
n \ge 1 \Rightarrow {n^2} \ge 1\\
2n \ge 2
\end{array} \right.\\ \Rightarrow n\left( {n + 2} \right) = {n^2} + 2n \ge 1 + 2 = 3\\
\Rightarrow \dfrac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}} \le \dfrac{1}{3} \Rightarrow {u_n} \le \dfrac{1}{3}\,\,\forall n \in N^*.
\end{array}\)

Suy ra \(0 < u_n\) \(\leq \dfrac{1}{3}\) với mọi  \(n \in {\mathbb N}^*\).

Vậy dãy số bị chặn.

LG c

\(u_n= \dfrac{1}{2n^{2}-1}\)

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \(u_n= \dfrac{1}{2n^{2}-1} > 0\) với mọi \(n\in N^*\)
Ta có:

\(\begin{array}{l}
{n^2} \ge 1 \Leftrightarrow 2{n^2} \ge 2 \Leftrightarrow 2{n^2} - 1 \ge 1 > 0\\
\Rightarrow 0 < \dfrac{1}{{2{n^2} - 1}} \le 1\,\,\,\forall n \in N^*
\end{array}\)

Vậy \(0 < u_n ≤ 1 \,\, \forall n \in N^*\), tức dãy số bị chặn.

LG d

\(u_n= \sin n + \cos n\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\sin n + \cos n \\= \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} \right) \\= \sqrt 2 \left( {\sin n\cos \frac{\pi }{4} + \cos n\sin \frac{\pi }{4}} \right)\\= \sqrt 2 \sin \left( {n + \dfrac{\pi }{4}} \right)\\
\text {Vì } - 1 \le \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\\ \Rightarrow  - \sqrt 2  \le \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \\ \Rightarrow - \sqrt 2 \le \sin n + \cos n \le \sqrt 2 \,\,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)

Vậy \(-\sqrt 2  \le u_n \le \sqrt 2 \,\, \forall n \in {\mathbb N}^*\), tức là dãy số là dãy bị chặn.
 Loigiaihay.com

Bình chọn:
4.1 trên 20 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Dãy số

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.