Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Bài 2. Dãy số

Câu hỏi 6 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 11


Đề bài

Chứng minh các bất đẳng thức \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\,{{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1\) với mọi \(n \in N*\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét hiệu hai vế cần đánh giá và so sánh với \(0\).

Lời giải chi tiết

\(\eqalign{
& {{{n}} \over {{n^2} + 1}} - {1 \over 2} = {{2n - ({n^2} + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} \cr & = \frac{{ - {n^2} + 2n - 1}}{{2\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{ - \left( {{n^2} - 2n + 1} \right)}}{{2\left( {{n^2} + 1} \right)}}\cr &= {{ - {{(n - 1)}^2}} \over {2({n^2} + 1)}} \le 0;\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& \text{Vì } 2\left( {{n^2} + 1} \right) > 0\text { và } - {\left( {n - 1} \right)^2} \le 0,\forall n\in N^*\cr &\Rightarrow {n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& {{{n^2} + 1} \over {2n}} - 1 = {{{n^2} + 1 - 2n} \over {2n}} \cr &= {{{{(n - 1)}^2}} \over {2n}} \ge 0;\,\,\forall n \in N* \cr
& \text{Vì } 2n > 0\text { và } {\left( {n - 1} \right)^2} \ge 0,\forall n\in N^*\cr & \Rightarrow {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1;\,\,\forall n \in {N^*} \cr} \)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua