Bài 3 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11

Bình chọn:
4.3 trên 10 phiếu

Giải bài 3 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11. Viết 5 số hạng đầu của dãy số, dự đoán công thức tổng quát.

Đề bài

Dãy số \(u_n\) cho bởi: \(u_1= 3\); \(u_{n+1}\)= \( \sqrt{1+u^{2}_{n}}\),\( n ≥ 1\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Để viết năm số hạng đầu tiên của dãy số ta tính \(u_n\) lần lượt tại \(n=1;2;3;4;5\).

b) Dựa vào các giá trị \(u_1;u_2;u_3;u_4;u_5\) dự đoán công thức tổng \(u_n\).

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh đẳng thức đã cho đúng với \(n=1\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 1\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\( u_2= \sqrt{1+3^2} = \sqrt{10}\)

\(u_3= \sqrt{1+ (\sqrt{10})^2} = \sqrt{11}\)

\(u_4= \sqrt{1+(\sqrt{11})^2} = \sqrt{12}\)

\(u_5= \sqrt{1+(\sqrt{12})^2} = \sqrt{13}\)

Năm số hạng đầu của dãy số là \(u_1=3; u_2=\sqrt{10}; u_3=\sqrt{11};\) \( u_4=\sqrt{12}; u_5=\sqrt{13}\).

b) Ta có:

\(u_1= 3 = \sqrt9 = \sqrt{1 + 8}\)

\( u_2= \sqrt{10} = \sqrt{2 + 8}\)

\(u_3= \sqrt{11} = \sqrt{3 + 8}\)

\(u_4= \sqrt{12} = \sqrt{4 + 8}\)

...........

Từ trên ta dự đoán \(u_n= \sqrt{n + 8}\), với \(n \in {\mathbb N}^*\)   (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với \(n = 1\), rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là có  \(u_k = \sqrt{k + 8}\) với \(k ≥ 1\), ta cần chứng minh \(u_{k+1}=\sqrt{(k+1)+8}\)

Theo công thức dãy số, ta có:

\(u_{k+1}=  \sqrt{1+u^{2}_{k}}\) \(=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}\) \(=\sqrt{(k+1)+8}\).

Như vậy công thức (1) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy công thức (1) được chứng minh.

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 2. Dãy số

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.