Lý thuyết cấp số cộng

1. Định nghĩa

Dãy số \(u_n\) là một cấp số cộng nếu \(u_{n+1}=u_n+ d\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), \(d\) là hằng số.

\(d =  u_{n+1}-u_n\) được gọi là công sai.

Chú ý: Khi \(d = 0\) thì CSC là một dãy số không đổi.

Ví dụ:

Dãy số \(3;6;9;12;15\) là một cấp số cộng vì:

\(\begin{array}{l}6 = 3 + 3\\9 = 6 + 3\\12 = 9 + 3\\15 = 12 + 3\end{array}\)

Đây là CSC có công sai \(d = 3\) và số hạng đầu \({u_1} = 3\).

2. Công thức số hạng tổng quát

Công thức số hạng tổng quát: \(u_n= u_1+ (n – 1)d\), (n ≥ 2, hay n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1).

Như vậy, công sai còn có thể tính bởi công thức: \(d =  \dfrac{u_{n}-u_{1}}{n-1}\).

Ví dụ:

Cho CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} =  - 1,d = 3\). Tìm \({u_{20}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_{20}} = {u_1} + \left( {20 - 1} \right)d\\\,\,\,\,\,\,\, = {u_1} + 19d\\\,\,\,\,\,\,\, =  - 1 + 19.3\\\,\,\,\,\,\,\, = 56\end{array}\)

3. Tính chất của cấp số cộng

\( u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k ≥ 2\) hay \(u_{k+1}+u_{k-1}= 2u_k\).

Ví dụ:

Cho ba số \(3;x;9\) theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm \(x.\)

Ta có: \(x = \dfrac{{3 + 9}}{2} = 6\).

Vậy \(x = 6\).

4. Công thức tính tổng n số hạng đầu

+) Công thức tính tổng thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng:  \(S_n=  \dfrac{n(u_{1}+u_{n})}{2}\), với \(n\in {\mathbb N}^*\)

+) Công thức tính tổng thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai:

\({S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\)

\({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)

Ví dụ:

Cho CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} =  - 1,d = 3\). Tính \({S_{20}}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{20}} = 20{u_1} + \dfrac{{20.\left( {20 - 1} \right)}}{2}.d\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 20.\left( { - 1} \right) + \dfrac{{20.19}}{2}.3\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 550\end{array}\)

5. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Phương pháp:

- Bước 1: Tính \(d = {u_n} - {u_{n - 1}},\forall n \ge 2\).

- Bước 2: Kết luận:

+ Nếu \(d\) là số không đổi thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng.

+ Nếu \(d\) thay đổi theo \(n\) thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.

Dạng 2: Tìm công sai của cấp số cộng.

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất của cấp số cộng, biến đổi để tính công sai của cấp số cộng.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng.

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Dạng 4: Tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên của dãy.

Phương pháp:

Sử dụng công thức \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \dfrac{{\left( {{u_1} + {u_n}} \right).n}}{2} = \dfrac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2}\)

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

Phương pháp chung:

- Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu \({u_1}\), công sai \(d\).

- Tìm công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

6. Bài tập về cấp số cộng

Bài 1. Cho dãy số $\dfrac{1}{2};0; - \dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{3}{2}$ là cấp số cộng với:

A. Số hạng đầu tiên là $\dfrac{1}{2}$, công sai là $\dfrac{1}{2}.$

B. Số hạng đầu tiên là $\dfrac{1}{2}$, công sai là $ - \dfrac{1}{2}.$

C. Số hạng đầu tiên là $0$, công sai là $\dfrac{1}{2}.$

D. Số hạng đầu tiên là $0$, công sai là $ - \dfrac{1}{2}.$

Lời giải: Ta có $\dfrac{1}{2};0; - \dfrac{1}{2}; - 1; - \dfrac{3}{2}$ là cấp số cộng \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{1}{2}\\{u_2} - {u_1} =  - \dfrac{1}{2} = d\end{array} \right.\)

Chọn đáp án B.

Bài 2. Trong các dãy số sau, dãy số nào không là cấp số cộng?

A. Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 3n - 5\)

B. Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \sqrt 3  - \sqrt 5 n\) 

C. Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {n^2} - n\)

D. Dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = 2017\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} + 2018\)

Lời giải: Đáp án A ta có \({a_{n + 1}} - {a_n} = 3\left( {n + 1} \right) - 5 - \left( {3n - 5} \right)\) \( = 3n + 3 - 5 - 3n + 5 = 3 \)

\(\Rightarrow \left( {{a_n}} \right)\) là 1 CSC có công sai $d = 3.$

Đáp án B ta có  \({b_{n + 1}} - {b_n} = \left( {\sqrt 3  - \sqrt 5 \left( {n + 1} \right)} \right) - \left( {\sqrt 3  - \sqrt 5 n} \right) \) \(= \sqrt 3  - \sqrt 5 n - \sqrt 5  - \sqrt 3  + \sqrt 5 n =  - \sqrt 5  \)

\(\Rightarrow \left( {{b_n}} \right)\) là 1 CSC có công sai \(d =  - \sqrt 5 \)

Đáp án C ta có \({c_{n + 1}} - {c_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} - \left( {n + 1} \right) - {n^2} + n = {n^2} + 2n + 1 - n - 1 - {n^2} + n = 2n \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)\) không là CSC.

Đáp án D ta có \(\cot \dfrac{{\left( {4n - 1} \right)\pi }}{2} = 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_n} = 2018\,\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {d_{n + 1}} - {d_n} = 0 \Rightarrow \left( {{d_n}} \right)\) là CSC có công sai $d = 0.$

Chọn đáp án C.

Bài 3. Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_3} =  - 2\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3,\,\,\forall n \in N^*.\) Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

A. \({u_n} = 3n - 11\)

B. \({u_n} = 3n - 8\)

C. \({u_n} = 2n - 8\)

D. \({u_n} = n - 5\)

Lời giải: \({u_{n + 1}} = {u_n} + 3 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là CSC có công sai $d = 3.$

\({u_3} = {u_1} + 2d\) \( \Rightarrow {u_1} = {u_3} - 2d =  - 2 - 2.3 =  - 8\)

Vậy số hạng tổng quát của CSC trên là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d =  - 8 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n - 11.\)

Chọn đáp án A.

Bài 4. Cho cấp số cộng \(\left( {{x_n}} \right)\)  có \({S_n} = 3{n^2} - 2n\). Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng đó.

A. \({u_1} = 2;d = 7\)      

B. \({u_1} = 1,d = 6\)     

C. \({u_1} = 1;d =  - 6\)

D. \({u_1} = 2;d = 6\)

Lời giải: Ta có \({S_1} = 3.1 - 2.1 = 1 = {u_1},\) \({S_2} = {3.2^2} - 2.2 = 8 = {u_1} + {u_2} \) \(\Rightarrow {u_2} = 7 \Rightarrow d = {u_1} - {u_2} = 6\)

Chọn đáp án B.

Bài 5. Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_2} = 2017\) và \({u_5} = 1945.\)  Tính \({u_{2018}}\) .

A. \({u_{2018}} =  - 46367\)

B. \({u_{2018}} = 50449\)         

C. \({u_{2018}} =  - 46391\)                 

D. \({u_{2018}} = 50473\)

Lời giải: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 2017\\{u_5} = 1945\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = 2017\\{u_1} + 4d = 1945\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2041\\d =  - 24\end{array} \right. \\ \Rightarrow {u_{2018}} = {u_1} + 2017d \\= 2041 + 2017\left( { - 24} \right) =  - 46367\)

Chọn đáp án A.

Bài 6. Cho cấp số cộng $6;x; - 2;y$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $x = 2,y = 5$  

B. $x = 4,y = 6$  

C. $x = 2,y =  - 6$          

D. $x = 4,y =  - 6$.

Lời giải: Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}6 - 2 = 2x\\x + y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 6\end{array} \right.\)

Chọn đáp án C.

Bài 7. Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right..\) Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

A. $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$    

B. $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} =  - 4\end{array} \right.$

C. $\left[ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$            

D. $\left[ \begin{array}{l}{u_1} =  - 1\\{u_1} = 1\end{array} \right.$

Lời giải: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 5\\{u_3}.{u_5} = 6\end{array} \right. \Rightarrow {u_3},{u_5}\) là nghiệm của phương trình ${X^2} - 5X + 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 3\\X = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$

TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 3\\{u_5} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 3\\{u_1} + 4d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 4\\d =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} = 2\\{u_5} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 2d = 2\\{u_1} + 4d = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy $\left[ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_1} = 4\end{array} \right.$.

Chọn đáp án A.

Bài 8. Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện ba số \(\dfrac{1}{{x + y}},\dfrac{1}{{y + z}},\dfrac{1}{{z + x}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng ?

A. Ba số \({x^2},{y^2},{z^2}\)  theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

B. Ba số \({y^2},{z^2},{x^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

C. Ba số \({y^2},{x^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

D. Ba số \({z^2},{y^2},{x^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Lời giải: Ta có

\(\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{z + x}} = 2\dfrac{1}{{y + z}} \Rightarrow yz + {z^2} + xy + xz + xy + xz + {y^2} + yz = 2\left( {xz + {x^2} + yz + xy} \right) \Leftrightarrow {z^2} + {y^2} = 2{x^2}\)

Vậy ba số \({y^2},{x^2},{z^2}\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Chọn đáp án C.

Bài 9. Viết sáu số xen giữa $3$ và $24$ để được một cấp số cộng có $8$ số hạng. Sáu số hạng cần viết thêm là :

A. $6, 9, 12, 15, 18, 21$

B. $21, 18, 15, 12, 9, 6  $

C. \(\dfrac{{13}}{2}\), \(10\), \(\dfrac{{27}}{2}\), \(17\), \(\dfrac{{41}}{2}\), \(24\)

D. \(\dfrac{{16}}{3}\), \(\dfrac{{23}}{3}\), \(\dfrac{{37}}{3}\), \(\dfrac{{44}}{3}\), \(\dfrac{{58}}{3}\), \(\dfrac{{65}}{3}\)

Lời giải: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_8} = 24 = {u_1} + 7d\end{array} \right. \Rightarrow 24 = 3 + 7d \Rightarrow d = 3 \Rightarrow \) Sáu số hạng cần viết thêm là: $6,9,12,15,18,21$.

Chọn đáp án A.

Bài 10. Nghiệm của phương trình $1 + 7 + 13 +  \ldots  + x = 280$ là:

A. $x = 53$

B. $x = 55$         

C. $x = 57$

D. $x = 59$

Lời giải: Ta thấy tổng $1 + 7 + 13 +  \ldots  + x$ là tổng của  cấp số cộng với \({u_1} = 1,d = 6\).

Giả sử $x$ là số hạng thứ $n$, khi đó \(x = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)6\), và $\begin{array}{l}1 + 7 + 13 +  \ldots  + x = \dfrac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} = \dfrac{{n\left( {2 + \left( {n - 1} \right).6} \right)}}{2} = 280\\ \Rightarrow 2n + 6n\left( {n - 1} \right) = 560\\ \Leftrightarrow 6{n^2} - 4n - 560 = 0 \Leftrightarrow n = 10\end{array}$

Vậy \(x = 1 + 9.6 = 55\).

Chọn đáp án B.