Lý thuyết cấp số cộng


1. Định nghĩa

1. Định nghĩa

\(u_n\) là cấp số cộng nếu \(u_{n+1}=u_n+ d\) với \(n\in {\mathbb N}^*\), \(d\) là hằng số.

Công sai \(d =  u_{n+1}-u_n\)

Ví dụ:

Dãy số \(3;6;9;12;15\) là một cấp số cộng vì:

\(\begin{array}{l}6 = 3 + 3\\9 = 6 + 3\\12 = 9 + 3\\15 = 12 + 3\end{array}\)

Đây là CSC có công sai \(d = 4\) và số hạng đầu \({u_1} = 3\).

2. Số hạng tổng quát

\(u_n= u_1+ (n – 1)d, (n ≥ 2)\).

\(d =  \dfrac{u_{n}-u_{1}}{n-1}\).

Ví dụ:

Cho CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} =  - 1,d = 3\). Tìm \({u_{20}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_{20}} = {u_1} + \left( {20 - 1} \right)d\\\,\,\,\,\,\,\, = {u_1} + 19d\\\,\,\,\,\,\,\, =  - 1 + 19.3\\\,\,\,\,\,\,\, = 56\end{array}\)

3. Tính chất

\( u_{k}=\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\) với \(k ≥ 2\) hay \(u_{k+1}+u_{k-1}= 2u_k\)

Ví dụ:

Cho ba số \(3;x;9\) theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm \(x\).

Ta có: \(x = \frac{{3 + 9}}{2} = 6\).

Vậy \(x = 6\).

4. Tổng \(n\) số hạng đầu

\(S_n=  \dfrac{n(u_{1}+u_{n})}{2}\), với \(n\in {\mathbb N}^*\)

hoặc \({S_n} = n{u_1} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\)

hoặc \({S_n} = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)

Ví dụ:

Cho CSC \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} =  - 1,d = 3\). Tính \({S_{20}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{20}} = 20{u_1} + \frac{{20.\left( {20 - 1} \right)}}{2}.d\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 20.\left( { - 1} \right) + \frac{{20.19}}{2}.3\\\,\,\,\,\,\,\,\, = 550\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 163 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 3. Cấp số cộng

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài