Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Bài 5 trang 53 SGK Hình học 11


Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (α) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng (α) và M là trung điểm đoạn SC.

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) nằm trong mặt phẳng \((α)\) có hai cạnh \(AB\) và \(CD\) không song song. Gọi \(S\) là điểm nằm ngoài mặt phẳng \((α)\) và \(M\) là trung điểm đoạn \(SC\).

a) Tìm giao điểm \(N\) của đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \((MAB)\).

b) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng ba đường thẳng \(SO, AM, BN\) đồng quy.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tìm một đường thẳng trong \((MAB)\) cắt được \(SD\). Khi đó giao điểm đó chính là giao điểm của \(SD\) và \((MAB)\).

b) Chứng minh \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\). Gọi \(I = AM \cap BN\), chứng minh \(I\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD) \, \Rightarrow I \in SO\).

Lời giải chi tiết

a) Trong mặt phẳng \((α)\) vì \(AB\) và \(CD\) không song song nên \(AB ∩ DC = E\)

\( \Rightarrow E ∈ DC\), mà \(DC ⊂ (SDC)\)

\( \Rightarrow E ∈ ( SDC)\).

Trong \((SDC)\) đường thẳng \(ME\) cắt \(SD\) tại \(N\)

\( \Rightarrow N ∈ ME\) mà \(ME ⊂ (MAB)\)

\( \Rightarrow N ∈ ( MAB)\). Lại có \(N ∈ SD \Rightarrow N = SD ∩ (MAB)\)

b) \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)\( \Rightarrow O\) thuộc \(AC\) và \(BD\), mà \(AC ⊂ ( SAC), BD ⊂ (SBD) \)

\( \Rightarrow O ∈( SAC), O ∈ (SBD)\)

\(\Rightarrow\)  \(O\) là một điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD)\)

Mặt khác \(S\) cũng là điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD)\)

\(\Rightarrow  (SAC) ∩ (SBD) = SO\)

Trong mặt phẳng \((AEN)\) gọi \(I = AM ∩ BN \Rightarrow I \in AM; I \in BN\)

Mà \(AM ⊂ (SAC) \Rightarrow  I ∈ (SAC) \)

\(BN ⊂ ( SBD) \)\(\Rightarrow  I ∈ (SBD)\).

Như vậy \(I\) là điểm chung của \((SAC)\) và \((SBD)\) nên \(I \in SO\) là giao tuyến của \((SAC)\) và \((SBD)\).

Vậy \(S, I, O\) thẳng hàng hay \(SO, AM, BN\) đồng quy tại \(I\).

Cách khác:

b) Chứng minh \(SO, MA, BN\) đồng quy:

+ Trong mặt phẳng \((SAC) : SO\) và \(AM\) cắt nhau.

+ Trong mp \((MAB) : MA\) và \(BN\) cắt nhau

+ Trong mp \((SBD) : SO\) và \(BN\) cắt nhau.

+ Qua \(AM\) và \(BN\) xác định được duy nhất \((MAB)\), mà \(SO\) không nằm trong mặt phẳng \((MAB)\) nên \(AM; BN; SO\) không đồng phẳng.

Theo kết quả bài tập 3 ta có \(SO, MA, BN\) đồng quy.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 35 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store