Bài 3 trang 53 SGK Hình học 11


Giải bài 3 trang 53 SGK Hình học 11. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Đề bài

Cho ba đường thẳng \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi \(I = {d_1} \cap {d_2}\), chứng minh \(I \in {d_3}\).

Lời giải chi tiết

Gọi \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) là ba đường thẳng đã cho.

Gọi \(I =d_1\cap d_2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in {d_1}\\
I \in {d_2}
\end{array} \right.\)

Ta chứng minh \(I ∈ d_3\). Thật vậy,

Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_1,d_3\).

\((\gamma)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_2,d_3\).

Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và \((\gamma)\) phân biệt.

Ngoài ra 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{d_3} \subset \left( \beta \right)\\
{d_3} \subset \left( \gamma \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}\)

\(I ∈ d_1\subset \left( \beta \right) \Rightarrow  I ∈ (β) = (d_1,d_3)\)

\(I ∈ d_2\subset \left( \gamma \right) \Rightarrow I ∈ (\gamma) = (d_2,d_3)\)

Từ đó suy ra, \(I ∈(\beta ) \cap (\gamma )=d_3\).

Cách khác:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \({d_{1,}}{d_2}\)

Gọi d3 ∩ d1 = M; d3 ∩ d2 = N.

+ M d1, mà d1  (P) M (P)

+ N d2, mà d2  (P) N (P).

Nếu M ≠ N d3 có hai điểm M, N cùng thuộc (P)

d3  (P)

d1; d2; d3 đồng phẳng (trái với giả thiết d1; d2; d3 không đồng phẳng).

M ≡ N là điểm thuộc cả d1 và d2, d3

Vậy d1; d2; d3 đồng quy.

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.9 trên 16 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài