Bài 4 trang 53 SGK Hình học 11


Đề bài

Cho bốn điểm \(A, B, C\) và \(D\) không đồng phẳng. Gọi \({G_{A}}^{}\), \({G_{B}}^{}\), \({G_{C},{G_{D}}^{}}^{}\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(BCD, CDA, ABD, ABC\). Chứng minh rằng, \(A{G_{A},B{G_{B},C{G_{C},D{G_{D}}^{}}^{}}^{}}^{}\) đồng quy.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sủ dụng kết quả bài tập 3:

Cho ba đường thẳng \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Khi đó ba đường thẳng trên đồng quy.

Lời giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm \(CD\).

+ \({G_A}\) là trọng tâm \(\Delta BCD\)

⇒ \({G_A}\) thuộc trung tuyến \(BN\; \subset \;\left( {ANB} \right)\)

⇒ \({AG_A} ⊂ (ANB)\)

\({G_B}\) là trọng tâm \(ΔACD\)

⇒ \({G_B}\) thuộc trung tuyến \(AN ⊂ (ANB)\)

⇒ \({BG_B} ⊂ (ANB).\)

Trong \(\left( {ANB} \right):{\rm{ }}A{G_A}\) không song song với \({BG_B}\)

⇒ \({AG_A}\) cắt \({BG_B}\) tại \(O\)

+ Chứng minh tương tự: \({BG_B}\) cắt \(C{G_C};{\rm{ }}C{G_C}\) cắt \({AG_A}\).

+ \(C{G_C}\) không nằm trong \(\left( {ANB} \right)\; \Rightarrow \;A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}C{G_C}\;\) không đồng phẳng và đôi một cắt nhau.

Áp dụng kết quả bài 3 \( \Rightarrow {\rm{ }}A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}C{G_C}\) đồng quy tại \(O\)

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự: \(\;A{G_A};{\rm{ }}B{G_B};{\rm{ }}D{G_D}\) đồng quy tại \(O\)

Vậy \(A{G_A};{\rm{ }}B{G_B}\;;{\rm{ }}C{G_C};{\rm{ }}D{G_D}\) đồng quy tại \(O\) (đpcm).

 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 42 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.