Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Bài 1. Giới hạn của dãy số

Lý thuyết về giới hạn của dãy số


Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn |q|

1. Giới hạn hữu hạn

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = 0\) khi và chỉ khi \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = a \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim }(u_{n}-a) = 0\).

2. Giới hạn vô cực

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}= +∞\) khi và chỉ khi \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+ \(\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = -∞ \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}(-u_{n})= +∞\).

3. Các giới hạn đặc biệt

a) \(\lim \frac{1}{n} = 0\);

    \(\lim \frac{1}{n^{k}} = 0\);

\(\lim n^k= +∞\), với \(k\) nguyên dương.

b) \(\lim q^n= 0\) nếu \(|q| < 1\);

    \(\lim q^n= +∞\) nếu \(q > 1\).

c) \(\lim c = c\) (\(c\) là hằng số).

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= b\), thì:

\(lim\left( {{u_{n}}+{v_n}} \right)= a +b\)

\(lim{\rm{ }}({u_n} - {v_n}){\rm{ }} = {\rm{ }}a - b\)

\(lim{\rm{ }}({u_n}.{v_n}) = ab\)

\(lim{{{u_n}} \over {{v_n}}} = {a \over b}\) (nếu \(b ≠ 0\)).

b) Nếu \(u_n≥ 0\) với mọi \(n\) và \(lim u_n= a\) thì \(a > 0\) và \(lim \sqrt{u_n}= \sqrt a\).

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

a) Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= ± ∞\) thì \(\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}= 0\).

b)  Nếu \(\lim u_n=a > 0\), \(\lim v_n= 0\) và \(v_n> 0\) với mọi \(n\) thì \(\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = +∞\)

c) Nếu \(\lim u_n= +∞\) và \(\lim v_n= a > 0\) thì \(\lim (u_n.v_n) = +∞\).

6. Cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội \(q\) thỏa mãn \(|q| <1\).

+) Công thức tính tổng \(S\) của cấp số lùi vô hạn \((u_n)\):

\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = {{{u_1}} \over {1 - q}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 51 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua