Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Bài 1. Giới hạn của dãy số

Lý thuyết về giới hạn của dãy số


Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn |q|

A. LÝ THUYẾT

1. Giới hạn hữu hạn

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n} = 0\) khi và chỉ khi \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n} = a \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }(u_{n}-a) = 0\).

2. Giới hạn vô cực

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n}= +∞\) khi và chỉ khi \(u_n\) có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

+) \(\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }u_{n} = -∞ \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}(-u_{n})= +∞\).

3. Các giới hạn đặc biệt

a) \(\lim \frac{1}{n} = 0\);

\(\lim \frac{1}{n^{k}} = 0\);

\(\lim n^k= +∞\), với \(k\) nguyên dương.

b) \(\lim q^n= 0\) nếu \(|q| < 1\);

\(\lim q^n= +∞\) nếu \(q > 1\).

c) \(\lim c = c\) (\(c\) là hằng số).

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= b\), thì:

\(\lim\left( {{u_{n}}+{v_n}} \right)= a +b\)

\(\lim({u_n} - {v_n}){\rm{ }} = {\rm{ }}a - b\)

\(\lim({u_n}.{v_n}) = ab\)

\(\lim{{{u_n}} \over {{v_n}}} = {a \over b}\) (nếu \(b ≠ 0\)).

b) Nếu \(u_n≥ 0\) với mọi \(n\) và \(\lim u_n= a\) thì \(a > 0\) và \(\lim \sqrt{u_n}= \sqrt a\).

5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.

a) Nếu \(\lim u_n=a\) và \(\lim v_n= ± \infty\) thì \(\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}= 0\).

b)  Nếu \(\lim u_n=a > 0\), \(\lim v_n= 0\) và \(v_n> 0\) với mọi \(n\) thì \(\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = +\infty\).

c) Nếu \(\lim u_n= +\infty\) và \(\lim v_n= a > 0\) thì \(\lim (u_n.v_n) = +\infty\).

6. Cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội \(q\) thỏa mãn \(|q| <1\).

+) Công thức tính tổng \(S\) của cấp số lùi vô hạn \((u_n)\):

\(S = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ... = {{{u_1}} \over {1 - q}}\).

 

B. BÀI TẬP

Bài 1. Cho dãy số $(u_{n})$ có tính chất $|u_{n}-2|\leq\frac{1}{3^{n}}$. Tính $\lim_{n\to+\infty}u_{n}$.

Giải:

Do $\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{3^{n}}=0$ nên $\lim_{n\to+\infty}(u_{n}-2)=0$.

Vậy $\lim_{n\to+\infty}u_{n}=2$.

Bài 2. Tính $\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^{2}+1}{3n^{2}+n}$.

Giải:

$\lim_{n\to+\infty}\frac{2n^{2}+1}{3n^{2}+n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{2+\frac{1}{n^{2}}}{3+\frac{1}{n}}=\frac{2}{3}$.

Bài 3. Tính $\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n^{2}-n}-\sqrt{n^{2}+1})$.

Giải:

$\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n^{2}-n}-\sqrt{n^{2}+1})$

$=\lim_{n\to+\infty}\frac{-n-1}{\sqrt{n^{2}-n}+\sqrt{n^{2}+1}}$

$=\lim_{n\to+\infty}\frac{-1-\frac{1}{n}}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}=-\frac{1}{2}$.

Bài 4. Tính $\lim_{n\to+\infty}(n^{2}-n+3)$.

Giải:

$\lim_{n\to+\infty}(n^{2}-n+3)$

$=\lim_{n\to+\infty}n^{2}\left(1-\frac{1}{n}+\frac{3}{n^{2}}\right)=+\infty$.

Bài 5. Tính tổng $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\cdots+(-1)^{n}\frac{1}{3^{n}}+\cdots$

Giải:

Ta thấy $S$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$ với $u_{1}=-\frac{1}{3},q=-\frac{1}{3}.$

Do đó $S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=-\frac{1}{4}$.


Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 55 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K9 Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store