Giải SBT toán hình học và đại số 10 cơ bản Ôn tập chương 6: Cung và góc lượng giác, công thức lượn..

Bài 6.54 trang 193 SBT đại số 10


Giải bài 6.54 trang 193 sách bài tập đại số 10. Cho tam giác ABC không tù,...

Đề bài

Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện \({\rm{cos2A + 2}}\sqrt 2 \cos B + 2\sqrt 2 \cos C = 3\). Tính các góc của tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Giả thiết tam giác ABC không tù có nghĩa là các góc của tam giác nhỏ hơn hoặc \(\dfrac{\pi }{2}\)và hiệu của hai góc cũng nằm trong khoảng từ  tới \(\dfrac{\pi }{2}\). Do đó với \(A \le \dfrac{\pi }{2}\)thì \(\cos \dfrac{A}{2} \ge \cos \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)còn với \( - \dfrac{\pi }{2} < B - C < \dfrac{\pi }{2}\)thì \( - \dfrac{\pi }{4} < \dfrac{{B - C}}{2} < \dfrac{\pi }{4}\)do đó \(\cos \dfrac{{B - C}}{2} > 0\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\cos 2A + 2\sqrt 2 (\cos B + \cos C) = 3\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}A + 4\sqrt 2 \cos \dfrac{{B + C}}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} = 3\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}A + 4\sqrt 2 sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} = 3\)

\( \Leftrightarrow 2si{n^2}A - 4\sqrt 2 sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow si{n^2}A - 2\sqrt 2 sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} + 1 = 0\)

Tam giác ABC không tù nên \(\cos \dfrac{A}{2} \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), suy ra \(\sqrt 2  \le 2\cos \dfrac{A}{2}\). Mặt khác, \(\cos \dfrac{{B - C}}{2} > 0\)nên ta có:

\(2\sqrt 2 sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} \le 4sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}\)

Hay \( - 2\sqrt 2 sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} \ge  - 2\sin A\cos \dfrac{{B - C}}{2}\)

Vì vậy vế trái của (*)\( \ge si{n^2}A - 2\sin A\cos \dfrac{{B - C}}{2} + 1\)

\( = {(\sin A - \cos \dfrac{{B - C}}{2})^2} - {\cos ^2}\dfrac{{B - C}}{2} + 1\)

\( = {(\sin A - \cos \dfrac{{B - C}}{2})^2} + {\sin ^2}\dfrac{{B - C}}{2} \ge 0\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}B - C = 0\\\sin A = \cos \dfrac{{B - C}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = C\\\sin A = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow A = \dfrac{\pi }{2},B = C = \dfrac{\pi }{4}\)

Vậy ABC là tam giác vuông cân.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store