Bài 6.54 trang 193 SBT đại số 10


Giải bài 6.54 trang 193 sách bài tập đại số 10. Cho tam giác ABC không tù,...

Đề bài

Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện \({\rm{cos2A + 2}}\sqrt 2 \cos B + 2\sqrt 2 \cos C = 3\). Tính các góc của tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Giả thiết tam giác ABC không tù có nghĩa là các góc của tam giác nhỏ hơn hoặc \(\dfrac{\pi }{2}\)và hiệu của hai góc cũng nằm trong khoảng từ  tới \(\dfrac{\pi }{2}\). Do đó với \(A \le \dfrac{\pi }{2}\)thì \(\cos \dfrac{A}{2} \ge \cos \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)còn với \( - \dfrac{\pi }{2} < B - C < \dfrac{\pi }{2}\)thì \( - \dfrac{\pi }{4} < \dfrac{{B - C}}{2} < \dfrac{\pi }{4}\)do đó \(\cos \dfrac{{B - C}}{2} > 0\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\cos 2A + 2\sqrt 2 (\cos B + \cos C) = 3\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}A + 4\sqrt 2 \cos \dfrac{{B + C}}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} = 3\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}A + 4\sqrt 2 sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} = 3\)

\( \Leftrightarrow 2si{n^2}A - 4\sqrt 2 sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow si{n^2}A - 2\sqrt 2 sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} + 1 = 0\)

Tam giác ABC không tù nên \(\cos \dfrac{A}{2} \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\), suy ra \(\sqrt 2  \le 2\cos \dfrac{A}{2}\). Mặt khác, \(\cos \dfrac{{B - C}}{2} > 0\)nên ta có:

\(2\sqrt 2 sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} \le 4sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}\)

Hay \( - 2\sqrt 2 sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2} \ge  - 2\sin A\cos \dfrac{{B - C}}{2}\)

Vì vậy vế trái của (*)\( \ge si{n^2}A - 2\sin A\cos \dfrac{{B - C}}{2} + 1\)

\( = {(\sin A - \cos \dfrac{{B - C}}{2})^2} - {\cos ^2}\dfrac{{B - C}}{2} + 1\)

\( = {(\sin A - \cos \dfrac{{B - C}}{2})^2} + {\sin ^2}\dfrac{{B - C}}{2} \ge 0\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}B - C = 0\\\sin A = \cos \dfrac{{B - C}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = C\\\sin A = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow A = \dfrac{\pi }{2},B = C = \dfrac{\pi }{4}\)

Vậy ABC là tam giác vuông cân.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài