Giải SBT toán hình học và đại số 10 cơ bản Bài 1: Bất đẳng thức

Bài 4.8 trang 104 SBT đại số 10


Giải bài 4.8 trang 104 sách bài tập đại số 10. Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng...

Đề bài

Cho a, b, c là những số dương. Chứng minh rằng 

\(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi vế trái

Lời giải chi tiết

\((a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \) \(= 3+ (\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}) + (\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a}) + (\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b})\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}} = 2\\
\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{c}.\dfrac{c}{a}} = 2\\
\dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{b}} = 2
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\\
\ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9\\
\Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\\
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}.\dfrac{1}{c}}} = \dfrac{3}{{\sqrt[3]{{abc}}}}\\
\Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right)\\
\ge 3\sqrt[3]{{abc}}.\dfrac{3}{{\sqrt[3]{{abc}}}} = 9\\
\Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}
\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store