Giải SBT toán hình học và đại số 10 cơ bản Bài 1: Bất đẳng thức

Bài 4.1 trang 103 SBT đại số 10


Giải bài 4.1 trang 13 sách bài tập đại số 10. Trong các bài tập từ 4.1 đến 4.10, cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng...

Đề bài

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng 

\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chuyển vế và khai triển dựa vào hằng đẳng thức

Lời giải chi tiết

\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)

\( \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} - {x^3}y - x{y^3} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3}(x - y) + {y^3}(y - x) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {x^3}\left( {x - y} \right) - {y^3}\left( {x - y} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow (x - y)({x^3} - {y^3}) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {(x - y)^2}({x^2} + {y^2} + xy) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}\left[ {{x^2} + 2.x.\frac{y}{2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{3{y^2}}}{4}} \right] \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {(x - y)^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4}} \right] \ge 0\)

Luôn đúng vì: 

\(\begin{array}{l}
{(x - y)^2} \ge 0,\;\;\forall x,y \in \mathbb R\\
\left[ {{{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)}^2} + \frac{{3{y^2}}}{4}} \right] \ge \frac{{3{y^2}}}{4} \ge 0,\;\;\forall x,y \in \mathbb R
\end{array}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store