Giải SBT toán hình học và đại số 10 cơ bản Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Bài 4.25 trang 108 SBT đại số 10


Giải bài 4.25 trang 108 sách bài tập đại số 10. Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vô nghiệm...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vô nghiệm: 

LG a

\({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} < 1\).

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức cô-si

Lời giải chi tiết:

BPT tương đương: \({x^2} + 1 + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} < 2\) 

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số \({x^2} + 1\) và  \(\dfrac{1}{{({x^2} + 1)}}\) ta được:

\(({x^2} + 1) + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 2\sqrt {({x^2} + 1).\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}} = 2 \, \forall x\)

Vậy \(({x^2} + 1) + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 2 \, \forall x\)

Hay \({x^2}  + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 1\)

Vì vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

LG b

\(\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\).

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức cô-si

Lời giải chi tiết:

Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} - x + 1} ;\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) ta được:

\(\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) \( \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} - x + 1} .\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}}  = 2\)

\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} \ge 2\)

Vậy bất phương trình \(\sqrt {{x^2} - x + 1}  + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\) vô nghiệm.

LG c

\(\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  < 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng bất đẳng thức Cô - si và hằng đẳng thức \((a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = {a^3} + {b^3}\).

Chú ý: \(\sqrt {\sqrt a }  = \sqrt[4]{a}\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} + 1} \) và \(\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \\ \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {{x^6} + 1} } \\ = 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1}  \ge 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\end{array}\)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 9 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store