-
ĐẠI SỐ SBT - TOÁN 10
-
HÌNH HỌC SBT - TOÁN 10
-
Chương 1: Véc tơ
-
Chương 2: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng
- Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ
- Bài 2: Tích vô hướng của hai vec tơ
- Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
- Ôn tập chương 2: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng
- Ôn tập chương 2: Đề toán tổng hợp
- Câu hỏi trắc nghiệm chương 2: Tích vô hướng của hai véc tơ và ứng dụng
-
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
-
BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM
-
Bài 4.25 trang 108 SBT đại số 10
Giải bài 4.25 trang 108 sách bài tập đại số 10. Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vô nghiệm...
Chứng minh rằng các bất phương trình sau đây vô nghiệm:
LG a
\({x^2} + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} < 1\).
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức cô-si
Lời giải chi tiết:
BPT tương đương: \({x^2} + 1 + \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} < 2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số \({x^2} + 1\) và \(\dfrac{1}{{({x^2} + 1)}}\) ta được:
\(({x^2} + 1) + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 2\sqrt {({x^2} + 1).\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}} = 2 \, \forall x\)
Vậy \(({x^2} + 1) + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 2 \, \forall x\)
Hay \({x^2} + \dfrac{1}{{({x^2} + 1)}} \ge 1\)
Vì vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
LG b
\(\sqrt {{x^2} - x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\).
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức cô-si
Lời giải chi tiết:
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} - x + 1} ;\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) ta được:
\(\sqrt {{x^2} - x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\) \( \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} - x + 1} .\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}} = 2\)
\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} - x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} \ge 2\)
Vậy bất phương trình \(\sqrt {{x^2} - x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\) vô nghiệm.
LG c
\(\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} < 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cô - si và hằng đẳng thức \((a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = {a^3} + {b^3}\).
Chú ý: \(\sqrt {\sqrt a } = \sqrt[4]{a}\).
Lời giải chi tiết:
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \(\sqrt {{x^2} + 1} \) và \(\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \) ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \\ \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)} } \\ = 2\sqrt {\sqrt {{x^6} + 1} } \\ = 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \ge 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\end{array}\)
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 4.26 trang 108 SBT đại số 10
- Bài 4.27 trang 109 SBT đại số 10
- Bài 4.28 trang 109 SBT đại số 10
- Bài 4.29 trang 109 SBT đại số 10
- Bài 4.30 trang 109 SBT đại số 10
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay
Ph/hs Tham Gia Nhóm Để Cập Nhật Điểm Thi, Điểm Chuẩn Miễn Phí
