Bài 2.59 trang 105 SBT hình học 10


Giải bài 2.59 trang 105 sách bài tập hình học 10. Cho tam giác ABC có ...

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(AB = c,AC = b\)(với \(b \ne c\)), phân giác trong AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: \({k^2} = bc - de\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lý cô sin cho các tam giác \(ABD\) và \(ACD\).

Lời giải chi tiết

Ta có AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {BAD} = \cos\widehat {DAC}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2}}}{{2AB.AD}}\)\( = \dfrac{{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}}}{{2AC.AD}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{c^2} + {k^2} - {d^2}}}{{2c.k}} = \dfrac{{{b^2} + {k^2} - {e^2}}}{{2b.k}}\) \( \Rightarrow b\left( {{c^2} + {k^2} - {d^2}} \right) = c\left( {{b^2} + {k^2} - {e^2}} \right)(*)\)

Vì AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)

\( \Rightarrow DB.AC = DC.AB\) \( \Rightarrow bd = ce\)

Từ (*) ta suy ra 

\(\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow b{c^2} + b{k^2} - b{d^2} = c{b^2} + c{k^2} - c{e^2}\\
\Leftrightarrow b{c^2} - c{b^2} + b{k^2} - c{k^2} + c{e^2} - b{d^2} = 0\\
\Leftrightarrow bc\left( {c - b} \right) + \left( {b - c} \right){k^2} + bd.e - ce.d = 0\\
\Leftrightarrow - bc\left( {b - c} \right) + \left( {b - c} \right){k^2} + de\left( {b - c} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {b - c} \right)\left( { - bc + {k^2} + de} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - bc + {k^2} + de = 0\\
\Leftrightarrow {k^2} = bc - de
\end{array}\)

(vì \(b \ne c\)) (điều phải chứng minh)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài