Bài 2.57 trang 105 SBT hình học 10


Giải bài 2.57 trang 105 sách bài tập hình học 10. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với \(A(2;4);B(3;1);C( - 1;1)\)

LG a

Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trọng tâm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\)

H là trực tâm tam giác ABC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\CH \bot AB\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0\end{array} \right.\)

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Leftrightarrow IA = IB = IC\)

Lời giải chi tiết:

\(A(2;4),B(3;1),C( - 1;1)\)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{4}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(G\left( {\dfrac{4}{3};2} \right)\)

*Gọi H(x; y), ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = (1; - 3);\overrightarrow {BC}  = ( - 4;0)\);\(\overrightarrow {CH}  = (x + 1;y - 1);\)\(\overrightarrow {AH}  = (x - 2;y - 4)\)

H là trực tâm tam giác ABC \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\CH \bot AB\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4(x - 2) +0(y-4)= 0\\(x + 1) - 3(y - 1) = 0\end{array} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
x - 3y + 4 = 0
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\)

*Gọi I(x; y), I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Leftrightarrow IA = IB = IC\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AI = BI\\
BI = CI
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\
\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {(x - 3)^2} + {(y - 1)^2}\\{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} = {(x + 1)^2} + {(y - 1)^2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\
{\left( {x - 3} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\
{x^2} - 6x + 9 = {x^2} + 2x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\
- 8x = - 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {1 - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {1 - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\
x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 + {y^2} - 8y + 16 = 4 + {y^2} - 2y + 1\\
x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 6y = - 12\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy: I(1; 2)

LG b

Chứng minh H, G, I thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\overrightarrow {IH} ,\overrightarrow {IG} \) cùng phương.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = (1;0),\overrightarrow {IG}  = \left( {\dfrac{1}{3};0} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {IH} ,\overrightarrow {IG} \) cùng phương nên H, G, I thẳng hàng.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.