Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Bài 2. Dãy số

Câu hỏi 6 trang 90 SGK Đại số và Giải tích 11


Chứng minh các bất đẳng thức ...

Đề bài

Chứng minh các bất đẳng thức \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\,{{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1\) với mọi \(n \in N*\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét hiệu hai vế cần đánh giá và so sánh với \(0\).

Lời giải chi tiết

\(\eqalign{
& {{{n}} \over {{n^2} + 1}} - {1 \over 2} = {{2n - ({n^2} + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} \cr & = \frac{{ - {n^2} + 2n - 1}}{{2\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{ - \left( {{n^2} - 2n + 1} \right)}}{{2\left( {{n^2} + 1} \right)}}\cr &= {{ - {{(n - 1)}^2}} \over {2({n^2} + 1)}} \le 0;\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& \text{Vì } 2\left( {{n^2} + 1} \right) > 0\text { và } - {\left( {n - 1} \right)^2} \le 0,\forall n\in N^*\cr &\Rightarrow {n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& {{{n^2} + 1} \over {2n}} - 1 = {{{n^2} + 1 - 2n} \over {2n}} \cr &= {{{{(n - 1)}^2}} \over {2n}} \ge 0;\,\,\forall n \in N* \cr
& \text{Vì } 2n > 0\text { và } {\left( {n - 1} \right)^2} \ge 0,\forall n\in N^*\cr & \Rightarrow {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1;\,\,\forall n \in {N^*} \cr} \)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store