Bài 4 trang 121 SGK Hình học 11

Bình chọn:
3.9 trên 8 phiếu

Giải bài 4 trang 121 SGK Hình học 11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600.

Đề bài

Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và có góc \(\widehat{ BAD} = 60^0\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SO = {{3a} \over 4}\) . Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn \(BC\) và \(F\) là trung điểm của đoạn \(BE\).

a) Chứng minh mặt phẳng \( (SOF)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\)

b) Tính các khoảng cách từ \(O\) và \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SOF} \right)\).

b) Dựng và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng \((SBC)\). Chứng minh \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết \(\widehat{ BAD} = 60^0\) nên theo tính chất của hình thoi \(\widehat{ BCD} = 60^0\) hay tam giác \(BDC\) đều.

Xét tam giác \(BOE\) có \(BO=BE=\dfrac{{a}}{2}\) và \(\widehat{ OBE} = 60^0\) nên tam giác \(BOE\) đều

Do đó \(OF\) là đường cao và ta được \(OF ⊥BC\). 

\(\left\{ \begin{array}{l}
SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BC \bot SO\\
BC \bot OF
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOF} \right)\\ \Rightarrow BC \bot SF\)

Mà \(BC ⊂ (SBC)\Rightarrow (SOF) ⊥ (SBC)\)

b) Vì \((SOF) ⊥ (SBC)\) và hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến \(SF\) nên nếu từ điểm \(O\) ta kẻ \(OH⊥SF\) thì \(OH⊥(SBC)\) và \(OH\) chính là khoảng cách từ \(O\) đến \((SBC)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}SO = \frac{{3a}}{4};\,\,OF = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow SF = \sqrt {S{O^2} + O{F^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\OH.SF = SO.OF \Rightarrow OH = \dfrac{{SO.OF}}{{SF}} = \dfrac{{3a}}{8}\end{array}\)

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) trên \((SBC)\), ta có \(AK//OH\)

Trong \(ΔAKC\) thì \(OH\) là đường trung bình, do đó: \(AK = 2OH \Rightarrow AK =\dfrac{{3a}}{4}\).

Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{3a}}{4}\)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Ôn tập chương III - Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

>>Học trực tuyến các môn lớp 11, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu