Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Ôn tập chương III - Vectơ trong không gian. Quan hệ vuô..

Bài 4 trang 121 SGK Hình học 11


Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600.

Đề bài

Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\) và có góc \(\widehat{ BAD} = 60^0\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và \(SO = {{3a} \over 4}\) . Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn \(BC\) và \(F\) là trung điểm của đoạn \(BE\).

a) Chứng minh mặt phẳng \( (SOF)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\)

b) Tính các khoảng cách từ \(O\) và \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SOF} \right)\).

b) Dựng và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng \((SBC)\). Chứng minh \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết \(\widehat{ BAD} = 60^0\) nên theo tính chất của hình thoi \(\widehat{ BCD} = 60^0\) hay tam giác \(BDC\) đều.

\(\Rightarrow BD = a \Rightarrow BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{a}{2}\); \(BE = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{a}{2}\)

Xét tam giác \(BOE\) có \(BO=BE=\dfrac{{a}}{2}\) và \(\widehat{ OBE} = 60^0\) nên tam giác \(BOE\) đều

Do đó \(OF\) là đường cao và ta được \(OF ⊥BC\). 

\(\left\{ \begin{array}{l}
SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BC \bot SO\\
BC \bot OF
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SOF} \right)\)

Mà \(BC ⊂ (SBC)\Rightarrow (SOF) ⊥ (SBC)\)

b) Kẻ \(OH \bot SF\)

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SOF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\\
\left( {SOF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF\\
OH \bot SF\\
OH \subset \left( {SOF} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\\
\Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH
\end{array}\)

Ta có:

Tam giác \(OBF\) vuông tại \(F\) nên \(OF = \sqrt {O{B^2} - B{F^2}}  \) \(= \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{4}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Tam giác \(SOF\) vuông tại \(O\) có \(\begin{array}{l}SO = \dfrac{{3a}}{4};\,\,OF = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow SF = \sqrt {S{O^2} + O{F^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\OH.SF = SO.OF \Rightarrow OH = \dfrac{{SO.OF}}{{SF}} = \dfrac{{3a}}{8}\end{array}\)

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) trên \((SBC)\), ta có \(AK//OH\)

Trong \(ΔAKC\) thì \(OH\) là đường trung bình, do đó: \(AK = 2OH \Rightarrow AK =\dfrac{{3a}}{4}\).

Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{3a}}{4}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 16 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store