Bài 1.89 trang 29 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.89 trang 29 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(y = {{{x^2} - 2x - 3} \over {x - 2}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x - \frac{3}{{x - 2}}\)

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  + \infty \) nên TCĐ \(x = 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( { - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = 0\) nên TCX: \(y = x\).

Ta có:

\(y' = 1 + \frac{3}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\) nên không có cực trị.

BBT:

+) Đồ thị:

LG b

Tìm các giá trị m sao cho đường thẳng y = m – x cắt đường cong (C) tại hai điểm A và B.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = m - x\\ \Rightarrow {x^2} - 2x - 3 = \left( {m - x} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 =  - {x^2} + mx + 2x - 2m\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 2m - 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm A, B nếu và chỉ nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \(2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 4} \right)^2} - 8\left( {2m - 3} \right) > 0\\{2.2^2} - \left( {m + 4} \right).2 + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m + 40 > 0\,\,\,\left( {dung} \right)\\ - 3 \ne 0\,\,\,\left( {dung} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt khác \(2\).

Với mọi \(m \in R\), đường thẳng đã cho đều cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B.

LG c

Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi.

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(m\) thì đường thẳng luôn cắt (C ) tại hai điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) với \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn (*).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \frac{{\frac{{m + 4}}{2}}}{2} = \frac{{m + 4}}{4}\\ \Rightarrow m + 4 = 4{x_M} \Rightarrow m = 4{x_M} - 4\\{y_M} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = \frac{{m - {x_1} + m - {x_2}}}{2}\\ = \frac{{2m - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{2} = \frac{{2m - \frac{{m + 4}}{2}}}{2}\\ = \frac{{3m - 4}}{4} = \frac{{3\left( {4{x_M} - 4} \right) - 4}}{4}\\ = \frac{{12{x_M} - 16}}{4} = 3{x_M} - 4\\ \Rightarrow {y_M} = 3{x_M} - 4\end{array}\)

Vậy, tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m thay đổi là đường thẳng y = 3x – 4.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.