Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ ..

Bài 1.76 trang 25 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.76 trang 25 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Hai đường thẳng đi qua điểm (1;3) và có hệ số góc k cắt trục hoành tại điểm A và trục tung tại điểm B ...

Đề bài

Hai đường thẳng đi qua điểm (1;3) và có hệ số góc k cắt trục hoành tại điểm A và trục tung tại điểm B (hoành độ của điểm A và tung độ của điểm B là những số dương). Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi k bằng

(A) -1                                       (B) -2

(C) -3                                       (D) -4

Lời giải chi tiết

Chọn đáp án C.

Đường thẳng đi qua \(M\left( {1;3} \right)\) có hệ số góc \(k\) là:

\(y = k\left( {x - 1} \right) + 3\) \( \Leftrightarrow y = kx - k + 3\) (d)

Cho \(x = 0\) thì \(y =  - k + 3\) nên (d) cắt \(Oy\) tại \(B\left( {0; - k + 3} \right)\).

Cho \(y = 0\) thì \(kx - k + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k - 3}}{k}\) nên (d) cắt \(Ox\) tại \(A\left( {\frac{{k - 3}}{k};0} \right)\)

Do hoành độ của A và tung độ của B dương nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{k - 3}}{k} > 0\\ - k + 3 > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 3\\k < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow k < 0\)

Diện tích \(\Delta OAB\) là:

\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB\) \( = \frac{1}{2}\frac{{k - 3}}{k}.\left( { - k + 3} \right)\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{ - {k^2} + 6k - 9}}{k}\) \( = \frac{1}{2}\left( { - k + 6 - \frac{9}{k}} \right)\)

Do \(k < 0\) nên \( - k > 0\).

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương \( - k\) và \( - \frac{9}{k}\) ta có:

\( - k - \frac{9}{k} \ge 2\sqrt {\left( { - k} \right).\left( { - \frac{9}{k}} \right)}  = 2.3 = 6\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - k - \frac{9}{k} + 6 \ge 6 + 6 = 12\\ \Rightarrow {S_{OAB}} \ge \frac{1}{2}.12 = 6\\ \Rightarrow \min {S_{OAB}} = 6\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \( - k =  - \frac{9}{k} \Leftrightarrow {k^2} = 9\) \( \Leftrightarrow k =  - 3\) (do \(k < 0\))

Vậy \(k =  - 3\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store