Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao
Ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ ..
Bài 1.76 trang 25 SBT Giải tích 12 Nâng cao
Giải bài 1.76 trang 25 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Hai đường thẳng đi qua điểm (1;3) và có hệ số góc k cắt trục hoành tại điểm A và trục tung tại điểm B ...
Đề bài
Hai đường thẳng đi qua điểm (1;3) và có hệ số góc k cắt trục hoành tại điểm A và trục tung tại điểm B (hoành độ của điểm A và tung độ của điểm B là những số dương). Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi k bằng
(A) -1 (B) -2
(C) -3 (D) -4
Lời giải chi tiết
Chọn đáp án C.
Đường thẳng đi qua \(M\left( {1;3} \right)\) có hệ số góc \(k\) là:
\(y = k\left( {x - 1} \right) + 3\) \( \Leftrightarrow y = kx - k + 3\) (d)
Cho \(x = 0\) thì \(y = - k + 3\) nên (d) cắt \(Oy\) tại \(B\left( {0; - k + 3} \right)\).
Cho \(y = 0\) thì \(kx - k + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{k - 3}}{k}\) nên (d) cắt \(Ox\) tại \(A\left( {\frac{{k - 3}}{k};0} \right)\)
Do hoành độ của A và tung độ của B dương nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{k - 3}}{k} > 0\\ - k + 3 > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 3\\k < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow k < 0\)
Diện tích \(\Delta OAB\) là:
\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB\) \( = \frac{1}{2}\frac{{k - 3}}{k}.\left( { - k + 3} \right)\)\( = \frac{1}{2}.\frac{{ - {k^2} + 6k - 9}}{k}\) \( = \frac{1}{2}\left( { - k + 6 - \frac{9}{k}} \right)\)
Do \(k < 0\) nên \( - k > 0\).
Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương \( - k\) và \( - \frac{9}{k}\) ta có:
\( - k - \frac{9}{k} \ge 2\sqrt {\left( { - k} \right).\left( { - \frac{9}{k}} \right)} = 2.3 = 6\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow - k - \frac{9}{k} + 6 \ge 6 + 6 = 12\\ \Rightarrow {S_{OAB}} \ge \frac{1}{2}.12 = 6\\ \Rightarrow \min {S_{OAB}} = 6\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \( - k = - \frac{9}{k} \Leftrightarrow {k^2} = 9\) \( \Leftrightarrow k = - 3\) (do \(k < 0\))
Vậy \(k = - 3\).
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 1.77 trang 26 SBT Giải tích 12 Nâng cao
- Bài 1.78 trang 26 SBT Giải tích 12 Nâng cao
- Bài 1.79 trang 26 SBT Giải tích 12 Nâng cao
- Bài 1.80 trang 26 SBT Giải tích 12 Nâng cao
- Bài 1.81 trang 27 SBT Giải tích 12 Nâng cao
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Group ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
Danh sách bình luận