Bài 1.87 trang 28 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.87 trang 28 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  (H) của hàm số

\(y = {{x + 4} \over {x + 2}}\)

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 1\) nên TCN \(y = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên TCĐ \(x =  - 2\)

Ta có:

\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) nên không có cực trị.

BBT:

+) Đồ thị:

LG b

Chứng minh rằng parabol (P) có phương trình \(y = {x^2} + 2\) tiếp xúc với đường cong (H). Xác đinh tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của (H) và (C) tại điểm đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \frac{{x + 4}}{{x + 2}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\g\left( x \right) = {x^2} + 2 \Rightarrow g'\left( x \right) = 2x\end{array}\)

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 4}}{{x + 2}} = {x^2} + 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 2x\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 4 = \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow x + 4 = {x^3} + 2{x^2} + 2x + 4\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + x = 0\\ \Leftrightarrow x{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(x = 0\) vào (2) không thỏa mãn.

Thay \(x =  - 1\) vào (2) thỏa mãn phương trình nên hệ có nghiệm duy nhất \(x =  - 1\).

Do đó (P) tiếp xúc (C ) tại điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\).

Có \(f'\left( { - 1} \right) = g'\left( { - 1} \right) =  - 2\) nên phương trình tiếp tuyến:

\(y =  - 2\left( {x + 1} \right) + 3\) hay \(y =  - 2x + 1\).

LG c

Xét vị trí tương đối của (P) và (H) (tức là xác định mỗi khoảng trên đó (P) nằm phía trên hay phía dưới (H).

Lời giải chi tiết:

Ta thấy:

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 4}}{{x + 2}} \ge {x^2} + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2 \le \frac{{x + 4}}{{x + 2}}\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^3} + 2{x^2} + x}}{{x + 2}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{x + 2}} \le 0\\ \Leftrightarrow  - 2 < x \le 0\end{array}\)

Do đó 

+) Trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), (P) nằm phía trên (H)

+) Trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\), (P) nằm phía dưới (H).

Loigiahay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài