Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ ..

Bài 1.78 trang 26 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.78 trang 26 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Một hình chóp với tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính a...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Một hình chóp với tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính a

LG a

Chứng minh rằng thể tích của hình chóp là

\(V = {{4{a^2}{x^2}} \over {3(x - 2a)}}.\)

Trong đó x là chiều cao của hình chóp.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng đi qua đường cao SH của hình chóp và trung điểm M của một cạnh đáy cắt hình chóp theo tam giác cân SMN và cắt hình cầu theo tâm O bán kính a nội tiếp tam giác SMN.

Có thể tính thể tích hình chóp theo x và  \(\alpha  = \widehat {SNH}\).

Sau đó sử dụng đẳng thức  \(x = a + {\rm{OS}}\) để tìm hệ thức giữa a, x và \(\alpha \).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng đi qua đường cao SH của hình chóp và trung điểm M của một cạnh đáy cắt hình chóp theo tam giác cân SMN và cắt hình cầu theo tâm O bán kính a nội tiếp tam giác SMN.

Ta có \(HN = x\cot \alpha ;MN = 2x\cot \alpha \).

Thể tích hình chóp là \(V = {1 \over 3}M{N^2}.SH = {4 \over 3}{x^3}{\cot ^2}\alpha \)

Ta tính \({\cot ^2}\alpha \) theo a và x.

Từ đẳng thức SH = OH + OS ta có \(x = a + {a \over {{\rm{cos }}\alpha }}\); do đó  \({\rm{cos }}\alpha  = {a \over {x - a}}\)

\({\sin ^2}\alpha  = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha \)

\(= 1 - {{{a^2}} \over {{{\left( {x - a} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 2ax} \over {{{\left( {x - a} \right)}^2}}}\)

\({\cot ^2}\alpha  = {{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {{{a^2}} \over {x{{\left( {x - 2a} \right)}^2}}}\)

Từ đó suy ra công thức cần chứng minh.

 

LG b

Với giá trị nào của x,hình chóp có thể tích là nhỏ nhất ?

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}V\left( x \right) = \frac{{4{a^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2a} \right)}}\\V'\left( x \right) = \frac{4}{3}.\frac{{2{a^2}x\left( {x - 2a} \right) - {a^2}{x^2}}}{{{{\left( {x - 2a} \right)}^2}}}\\ = \frac{4}{3}.\frac{{{a^2}{x^2} - 4{a^3}x}}{{{{\left( {x - 2a} \right)}^2}}}\\V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {a^2}{x^2} - 4{a^3}x = 0\\ \Leftrightarrow {a^2}x\left( {x - 4a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 4a\left( {do\,x > 2a} \right)\end{array}\)

Lập BBT suy ra hàm số \(V\left( x \right)\) đạt GTNN tại \(x = 4a\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store