Bài 6 trang 104 SGK Đại số và Giải tích 11


Đề bài

Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (hình bên). Từ hình vuông C2 lại tiếp tục như trên để được hình vuông C3… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C1, C2, C3, …,Cn

Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân.

Video hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết

Xét dãy số \((a_n)\), ta có \(a_1= 4\).

Gọi \({a_n}\) là cạnh hình vuông \({C_n}\).

Ta tính cạnh hình vuông \({a_{n + 1}}\) như sau:

Xét tam giác \(BEF\) vuông tại \(B\) có \(BE = \dfrac{3}{4}BA = \dfrac{{3{a_n}}}{4}\), \(BF = \dfrac{1}{4}BC = \dfrac{{{a_n}}}{4}\)

Do đó \(EF = \sqrt {B{E^2} + B{F^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3{a_n}}}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{{a_n}}}{4}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt {10} }}{4}{a_n}\) hay \({a_{n + 1}} = \dfrac{{\sqrt {10} }}{4}{a_n}\).

Vậy dãy số \((a_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu là \(a_1= 4\) và công bội \(\displaystyle q = {{\sqrt {10} } \over 4}\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 18 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.