Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 2 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11


Chứng minh rằng lim ...

Đề bài

Biết dãy số \((u_n)\) thỏa mãn \(|u_n-1| < \dfrac{1}{n^{3}}\) với mọi \(n\). Chứng minh rằng \(\lim u_n=1\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định nghĩa giới hạn 0, xem tại đây.

Lời giải chi tiết

Vì \(\lim \dfrac{1}{{{n^3}}} = 0\) nên theo định nghĩa thì

\(\dfrac{1}{{{n^3}}}\) luôn nhỏ hơn một số dương \(A\) bé tùy ý, kể từ một số hạng \(N_0\) nào đó trở đi.

(\(\dfrac{1}{{{n^3}}} < A \Leftrightarrow {n^3} > \dfrac{1}{A} \Rightarrow n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}\). Chọn \(N_0 =[\sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}] +1\), tức là từ số hạng thứ \(n\) mà \(n > N_0\) thì \(\dfrac{1}{{{n^3}}}\) luôn nhỏ hơn \(A\))

Mà \(\left| {{u_n} - 1} \right| < \dfrac{1}{{{n^3}}} \) nên \( \left| {{u_n} - 1} \right| <A\) với mọi \(n>N_0=[\sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}] +1\)

Theo định nghĩa dãy số có giới hạn \(0\) thì \(\lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \lim {u_n} = 1\). (đpcm)

Cách khác:

Các em có thể sử dụng định lý sau:

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\). Nếu có \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).

Cụ thể:

Vì \(\left| {{u_n} - 1} \right| < \dfrac{1}{{{n^3}}}\) và \(\lim \dfrac{1}{{{n^3}}} = 0\) nên \(\lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \lim {u_n} = 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 62 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store