Bài 2 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng lim ...

Đề bài

Biết dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $|u_n-1| < \dfrac{1}{n^{3}}$ với mọi $n$ . Chứng minh rằng $\lim u_n=1$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định nghĩa giới hạn 0, xem tại đây.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Vì $\lim \dfrac{1}{{{n^3}}} = 0$ nên theo định nghĩa thì

$\dfrac{1}{{{n^3}}}$ luôn nhỏ hơn một số dương $A$ bé tùy ý, kể từ một số hạng $N_0$ nào đó trở đi.

( $\dfrac{1}{{{n^3}}} < A \Leftrightarrow {n^3} > \dfrac{1}{A} \Rightarrow n > \sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}$ . Chọn $N_0 =[\sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}] +1$ , tức là từ số hạng thứ $n$ mà $n > N_0$ thì $\dfrac{1}{{{n^3}}}$ luôn nhỏ hơn $A$ )

Mà $\left| {{u_n} - 1} \right| < \dfrac{1}{{{n^3}}}$ nên $\left| {{u_n} - 1} \right| <A$ với mọi $n>N_0=[\sqrt[3]{{\dfrac{1}{A}}}] +1$

Theo định nghĩa dãy số có giới hạn $0$ thì $\lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0$

$\Rightarrow \lim {u_n} = 1$ . (đpcm)

Cách khác:

Các em có thể sử dụng định lý sau:

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ . Nếu có $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$ và $\lim {v_n} = 0$ thì $\lim {u_n} = 0$ .

Cụ thể:

Vì $\left| {{u_n} - 1} \right| < \dfrac{1}{{{n^3}}}$ và $\lim \dfrac{1}{{{n^3}}} = 0$ nên $\lim \left( {{u_n} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \lim {u_n} = 1$ .

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 62 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11
Tìm giới hạn sau:
Bài 4 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 4 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1.
Bài 5 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 5 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính tổng S
Bài 6 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 6 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1, 020 020 ... (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số.
Bài 7 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11
Tính các giới hạn sau:
Bài 8 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11
Tính các giới hạn:
Phương pháp tính giới hạn dãy số
Phương pháp tính giới hạn dãy số
Bài 1 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải bài 1 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11. Có 1 kg chất phóng xạ độc hại.
Câu hỏi 2 trang 117 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải câu hỏi 2 trang 117 SGK Đại số và Giải tích 11. Có nhiều tờ giấy chồng nhau, mỗi tờ có bề dày là 0,1 mm...
Câu hỏi 1 trang 112 SGK Đại số và Giải tích 11
Giải câu hỏi 1 trang 112 SGK Đại số và Giải tích 11. Cho dãy số (un) với...
Lý thuyết về giới hạn của dãy số
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn |q|

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.