Bài 10 trang 202 SBT Hình học 10


Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) . Gọi hai tiêu điểm của (E) lần lượt là  \({F_1},{F_2}\) và M thuộc (E) sao cho \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^ \circ }\) . Tìm tọa độ điểm M và tính diện tích tam giác \(M{F_1}{F_2}\) .

Lời giải chi tiết

Elip (E) có phương trình chính tắc : \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)

Ta có : \(a = 5,b = 3\) . Suy ra \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16.\)

Vậy \(c = 4.\)

Xét điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc elip, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{F_1}M = a + \frac{c}{a}x = 5 + \frac{4}{5}x\\{F_2}M = a - \frac{c}{a}x = 5 - \frac{4}{5}x\end{array} \right.\)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \({F_1}M{F_2}\) ta có :

\({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1}.M{F_2}\cos {60^ \circ }\)

\( \Leftrightarrow 4{c^2} = {\left( {5 + \frac{4}{5}x} \right)^2} + {\left( {5 - \frac{4}{5}x} \right)^2} - 2\left( {25 - \frac{{16}}{{25}}{x^2}} \right).\frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow 64 = 25 + \frac{{48}}{{25}}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{25}}{{16}}.13 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{5}{4}\sqrt {13} \,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Ta lại có \(M \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\,\,\,(2)\)

Thay (1) vào phương trình (2) ta được

\(\frac{{{y^2}}}{9} = 1 - \frac{{13}}{{16}} \Leftrightarrow {y^2} = \frac{9}{{16}}.3 \Leftrightarrow y =  \pm \frac{3}{4}\sqrt 3 .\)

Vậy có bốn điểm M thỏa mãn đề bài. Chúng có tọa độ là \(\left( { \pm \frac{5}{4}\sqrt {13} ; \pm \frac{3}{4}\sqrt 3 } \right).\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 11 trang 202 SBT Hình học 10

    Giải bài 11 trang 202 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm I(2 ; 4), B(1 ; 1), C(5 ; 5). Tìm điểm A sao cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

  • Bài 12 trang 202 SBT Hình học 10

    Giải bài 12 trang 202 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : ...

  • Bài 13 trang 202 SBT Hình học 10

    Giải bài 13 trang 202 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):(x - 1) + {(y - 2)^2} = 4 và hai điểm A(1 ; 4),...

  • Bài 14 trang 203 SBT Hình học 10

    Giải bài 14 trang 203 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật biết tọa độ hai đỉnh đối diện là (1 ; -5) và (6 ; 2), phương trình của một đường chéo là 5x + 7y - 7 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật.

  • Bài 15 trang 203 SBT Hình học 10

    Giải bài 15 trang 203 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB:3x + 5y - 33 = 0 ; đường cao AH:7x + y - 13 = 0; trung tuyến BM:x + 6y - 24 = 0 (M là trung điểm của AC). Tìm phương trình các cạnh còn lại của tam giác.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.