Bài 10 trang 202 SBT Hình học 10


Giải bài 10 trang 202 sách bài tập Hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E)...

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) . Gọi hai tiêu điểm của (E) lần lượt là  \({F_1},{F_2}\) và M thuộc (E) sao cho \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^ \circ }\) . Tìm tọa độ điểm M và tính diện tích tam giác \(M{F_1}{F_2}\) .

Lời giải chi tiết

Elip (E) có phương trình chính tắc : \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\)

Ta có : \(a = 5,b = 3\) . Suy ra \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16.\)

Vậy \(c = 4.\)

Xét điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc elip, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{F_1}M = a + \frac{c}{a}x = 5 + \frac{4}{5}x\\{F_2}M = a - \frac{c}{a}x = 5 - \frac{4}{5}x\end{array} \right.\)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \({F_1}M{F_2}\) ta có :

\({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1}.M{F_2}\cos {60^ \circ }\)

\( \Leftrightarrow 4{c^2} = {\left( {5 + \frac{4}{5}x} \right)^2} + {\left( {5 - \frac{4}{5}x} \right)^2} - 2\left( {25 - \frac{{16}}{{25}}{x^2}} \right).\frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow 64 = 25 + \frac{{48}}{{25}}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{25}}{{16}}.13 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{5}{4}\sqrt {13} \,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Ta lại có \(M \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\,\,\,(2)\)

Thay (1) vào phương trình (2) ta được

\(\frac{{{y^2}}}{9} = 1 - \frac{{13}}{{16}} \Leftrightarrow {y^2} = \frac{9}{{16}}.3 \Leftrightarrow y =  \pm \frac{3}{4}\sqrt 3 .\)

Vậy có bốn điểm M thỏa mãn đề bài. Chúng có tọa độ là \(\left( { \pm \frac{5}{4}\sqrt {13} ; \pm \frac{3}{4}\sqrt 3 } \right).\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài