Bài 1.48 trang 16 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.48 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải phương trình ...

Đề bài

Giải phương trình:

\(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) \)\(= 3 - 4{\cos ^2}x\)

Lời giải chi tiết

\(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\)

\(\Leftrightarrow 4\sin x\sin 2x + 2\sin x - 2\sin 2x - 1= 3 - 4{\cos ^2}x\)

\(\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x - 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 2=0\)

\(\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x - 2\sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \)

\(\Leftrightarrow \sin x\left[ {4\sin x\cos x + 1 - 2\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right] = 0\)

+) \(\sin x = 0 \)\(\Leftrightarrow x = k\pi\)

+) \(4\sin x\cos x + 1 - 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)

Để giải phương trình (2), ta đặt \(t = \sin x + \cos x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\)

Khi đó \(2\sin x\cos x = {t^2} - 1\) và từ phương trình (2) ta có phương trình \(2{t^2} - 2t - 1 = 0\) với ẩn t.

Phương trình này có hai nghiệm \({t_1} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2},{t_1} = {{1 + \sqrt 3 } \over 2}.\)

Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\)

Do đó 

\((2) \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x + \cos x = {t_1} \hfill \cr 
\sin x + \cos x = {t_2} \hfill \cr} \right.\)

\(\sin x + \cos x = {t_1}\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} \pm \alpha  + k2\pi \) với \(\cos \alpha  = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.\)

\(\sin x + \cos x = {t_1} \)\(\Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} \pm \beta  + k2\pi \) với \(\cos \beta  = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.\)

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm \(x = k\pi ,x={\pi  \over 4} \pm \alpha  + 2k\pi \) và \(x={\pi  \over 4} \pm \beta  + 2k\pi \) với \(\alpha \) và \(\beta \) là các số thỏa mãn \(\cos \alpha  = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\) và \(\cos \beta  = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\)

(chẳng hạn \(\alpha  = \arccos {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }},\beta  = \arccos {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\)).

  Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài