Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Bài 1.48 trang 16 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.48 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải phương trình ...

Đề bài

Giải phương trình:

\(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) \)\(= 3 - 4{\cos ^2}x\)

Lời giải chi tiết

\(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\)

\(\Leftrightarrow 4\sin x\sin 2x + 2\sin x - 2\sin 2x - 1= 3 - 4{\cos ^2}x\)

\(\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x - 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 2=0\)

\(\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x - 2\sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \)

\(\Leftrightarrow \sin x\left[ {4\sin x\cos x + 1 - 2\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right] = 0\)

+) \(\sin x = 0 \)\(\Leftrightarrow x = k\pi\)

+) \(4\sin x\cos x + 1 - 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)

Để giải phương trình (2), ta đặt \(t = \sin x + \cos x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\)

Khi đó \(2\sin x\cos x = {t^2} - 1\) và từ phương trình (2) ta có phương trình \(2{t^2} - 2t - 1 = 0\) với ẩn t.

Phương trình này có hai nghiệm \({t_1} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2},{t_1} = {{1 + \sqrt 3 } \over 2}.\)

Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\)

Do đó 

\((2) \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x + \cos x = {t_1} \hfill \cr 
\sin x + \cos x = {t_2} \hfill \cr} \right.\)

\(\sin x + \cos x = {t_1}\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} \pm \alpha  + k2\pi \) với \(\cos \alpha  = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.\)

\(\sin x + \cos x = {t_1} \)\(\Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} \pm \beta  + k2\pi \) với \(\cos \beta  = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.\)

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm \(x = k\pi ,x={\pi  \over 4} \pm \alpha  + 2k\pi \) và \(x={\pi  \over 4} \pm \beta  + 2k\pi \) với \(\alpha \) và \(\beta \) là các số thỏa mãn \(\cos \alpha  = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\) và \(\cos \beta  = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\)

(chẳng hạn \(\alpha  = \arccos {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }},\beta  = \arccos {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\)).

  Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store