Bài 1.29 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.29 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một cách trình bày việc đưa biểu thức ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Một cách trình bày việc đưa biểu thức \(a\sin x + b\cos x\) (a, b là hằng số, \({a^2} + {b^2} \ne 0\)) về dạng \(C\sin \left( {x + \alpha } \right)\) nhờ biểu thức toạ độ của tích vô hướng của hai vectơ

Trong mặt phẳng tọa độ gắn với đường tròn lượng giác tâm O gốc A, hãy xét các điểm \(P\left( {a;b} \right),Q\left( {b;a} \right),M\left( {\cos x;\sin x} \right)\)

LG a

Từ công thức \(\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM}  = a\sin x + b\cos x\) và

\(\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM}  = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\cos \left( {OQ,QM} \right)\)

Hãy suy ra \(a\sin x + b\cos x = C\cos \left( {x - \beta  } \right)\) trong đó \(\beta \) là số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OQ} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {OM}  = a\sin x + b\cos x\)

\(\eqalign{
& = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|.\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\cos \left( {OQ,OM} \right) \cr&= \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos (\left( {OA,OM} \right) - \left( {OA,OQ} \right)) \cr 
& = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos \left( {\alpha - \beta } \right),\cr&\left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,\beta = \left( {OA,OQ} \right) \cr} \)

LG b

 Từ câu a) suy ra rằng  \(a\sin x + b\cos x = C\sin \left( {x + \alpha } \right)\) trong đó \(\alpha \) là số đo của góc lượng giác \(\left( {OA,OP} \right),C = \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\)

Lời giải chi tiết:

Hai điểm \(P\left( {a;b} \right)\) và \(Q\left( {b;a} \right)\) đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ, nên dễ thấy

\(\left( {OA,OQ} \right) = {\pi  \over 2} - \left( {OA,OP} \right),\) tức là

\(\beta  = {\pi  \over 2} - \alpha  + k2\pi ,k \in Z.\)

 Vậy

\(a\sin x + b\cos x = \left| {\overrightarrow {OQ} } \right|\cos \left( {x - \beta } \right)\)

\(= \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\cos \left( {x - {\pi  \over 2} + \alpha } \right) \)

\(= \left| {\overrightarrow {OP} } \right|\sin \left( {x + \alpha } \right)\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.


Hỏi bài