Bài 1.32 trang 13 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.32 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

\(4\sin x - 3\cos x = 5\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
4\sin x - 3\cos x = 5\\
\Leftrightarrow \frac{4}{5}\sin x - \frac{3}{5}\cos x = 1\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x = 1\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x - \alpha } \right) = 1\\
\Leftrightarrow x - \alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \alpha + \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array}\)

với \(\cos \alpha  = {4 \over 5}\) và \(\sin \alpha  = {3 \over 5}\)

LG b

\(3\cos x + 2\sqrt 3 \sin x = {9 \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({3^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 21.\)

Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {21} \), ta được phương trình

\({2 \over {\sqrt {21} }}\cos x + {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }}\sin x = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)

Chọn \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha  = {3 \over {\sqrt {21} }}\) và \(\sin \alpha  = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }} = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và chọn được \(\beta \) sao cho \(\cos \beta  = {9 \over {2\sqrt {21} }}.\)

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

\(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \beta\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow x - \alpha = \pm \beta + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \alpha \pm \beta + k2\pi
\end{array}\)

(trong đó \(\cos \alpha  = {3 \over {\sqrt {21} }},\sin \alpha  = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và \(\cos \beta = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)).

LG c

\(3\sin 2x + 2\cos 2x = 3\)     

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
3\sin 2x + 2\cos 2x = 3\\
\Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {13} }}\sin 2x + \frac{2}{{\sqrt {13} }}\cos 2x = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin 2x + \sin \alpha \cos 2x = \cos \alpha \\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \alpha = \frac{\pi }{2} - \alpha + k2\pi \\
2x + \alpha = \pi - \frac{\pi }{2} + \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} - \alpha + k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

với \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\\
\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt {13} }}
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = {\pi  \over 4} - \alpha  + k\pi ,x = {\pi  \over 4} + k\pi \).

LG d

\(2\sin 2x + 3\cos 2x = \sqrt {13} \sin 14x\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
2\sin 2x + 3\cos 2x = \sqrt {13} \sin 14x\\
\Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {13} }}\sin 2x + \frac{3}{{\sqrt {13} }}\cos 2x = \sin 14x\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin 2x + \sin \alpha \cos 2x = \sin 14x\\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin 14x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
14x = 2x + \alpha + k2\pi \\
14x = \pi - 2x - \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\alpha }{{12}} + \frac{{k\pi }}{6}\\
x = \frac{{\pi - \alpha }}{{16}} + \frac{{k\pi }}{8}
\end{array} \right.
\end{array}\)

trong đó \(\cos \alpha  = {2 \over {\sqrt {13} }},\sin \alpha  = {3 \over {\sqrt {13} }}.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.