Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Bài 1.37 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.37 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

\(2{\sin ^3}x + 4{\cos ^3}x = 3\sin x\)

Lời giải chi tiết:

Những giá trị của \(x\) mà \(\cos x = 0\) thì \(\sin x =  \pm 1\) nên không có nghiệm của phương trình đã cho .

Với \(\cos x \ne 0\) , chia hai vế của nó cho \({\cos ^3}x\) , ta được

\(\begin{array}{l}
2.\frac{{{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} + 4 = 3.\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\
2{\tan ^3}x + 4 = 3.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\
\Leftrightarrow 2{\tan ^3}x + 4 = 3\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow {\tan ^3}x + 3\tan x - 4 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\tan x - 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 4} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x - 1 = 0\\
{\tan ^2}x + \tan x + 4 = 0\left( {VN} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \tan x = 1\\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array}\)

LG b

\(3{\sin ^2}{x \over 2}\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} \)

\(= \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} + {\sin ^2}\left( {{x \over 2} + {\pi  \over 2}} \right)\cos {x \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) = \sin {x \over 2}\)

\(\sin \left( {{\pi  \over 2} + {x \over 2}} \right) = \cos {x \over 2}\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(3{\sin ^3}{x \over 2} + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2}\)\( - \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} - {\cos ^3}{x \over 2} = 0(*)\)

Với điều kiện \(\cos {x \over 2} \ne 0\) , chia hai vế của (*) cho \({\cos ^3}{x \over 2}\) thì được phương trình

\(3{\tan ^3}{x \over 2} + 3{\tan ^2}{x \over 2} - \tan {x \over 2} - 1 = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {3{{\tan }^3}\frac{x}{2} - \tan \frac{x}{2}} \right) + \left( {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \tan \frac{x}{2}\left( {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) + \left( {3{{\tan }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) = 0
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \) \(\left( {\tan {x \over 2} + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}{x \over 2} - 1} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} + 1 = 0\\
3{\tan ^2}\frac{x}{2} - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan \frac{x}{2} = - 1\\
\tan \frac{x}{2} = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - {\pi  \over 2} + 2k\pi \) và \(x =  \pm {\pi  \over 3} + 2k\pi \).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store