Bài 1.28 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.28 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

LG a

\(y = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\sin 2x + \cos 2x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} + {1^2} = 4 - 4\sqrt 3 + 3 + 1\\
= 8 - 4\sqrt 3 = 4\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\\
\Rightarrow y = 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \left[ {\frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\sin 2x + \frac{1}{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}\cos 2x} \right]\\
= 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)

với \(\alpha \) thỏa mãn 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\\
\sin \alpha = \frac{1}{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}
\end{array} \right.\)

Do đó \( - 2\sqrt {2 - \sqrt 3 }  \le y \le 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \)

Vậy giá trị lớn nhất là \(2\sqrt {2 - \sqrt 3 } ,\) giá trị nhỏ nhất là  \( - 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } .\)

LG b

\(y = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} + 2\cos 2x + 3\sin x\cos x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} + 2\cos 2x + 3\sin x\cos x \)

\(\begin{array}{l}
= {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x + 2\cos 2x + \frac{3}{2}.2\sin x\cos x\\
= 1 - \sin 2x + 2\cos 2x + \frac{3}{2}\sin 2x
\end{array}\)

\(= 1 + {1 \over 2}\sin 2x + 2\cos 2x.\)

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x\\
= \frac{{\sqrt {17} }}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {17} }}\sin 2x + \frac{4}{{\sqrt {17} }}\cos 2x} \right)\\
= \frac{{\sqrt {17} }}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)

với \(\alpha\) thỏa mãn 

\({\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\\
\sin \alpha = \frac{4}{{\sqrt {17} }}
\end{array} \right.}\)

Mà \( - 1 \le \sin \left( {2x + \alpha } \right) \le 1\) nên \( - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right) \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
- \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le \frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le \frac{{\sqrt {17} }}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le 1 + \frac{1}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le 1 + \frac{{\sqrt {17} }}{2}\\
\Rightarrow 1 - \frac{{\sqrt {17} }}{2} \le y \le 1 + \frac{{\sqrt {17} }}{2}
\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \(1 + {{\sqrt {17} } \over 2}\) và  \(1 - {{\sqrt {17} } \over 2}\).

LG c

\(y = \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) - 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có 

\(\eqalign{
& y = \left( {\sin x - 2\cos x} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right) - 1 \cr&= 2\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) - 3\sin x\cos x - 1 \cr 
& = - 1 - {3 \over 2}\sin 2x - 2\cos 2x \cr} \)

\( =  - 1 - \left( {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x\\
= \frac{5}{2}\left( {\frac{3}{5}\sin 2x + \frac{4}{5}\cos 2x} \right)\\
= \frac{5}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right)
\end{array}\)

với \(\alpha \) thỏa mãn \({\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{3}{5}\\
\sin \alpha = \frac{4}{5}
\end{array} \right.}\)

\(\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {2x + \alpha } \right) \le 1\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{5}{2}\sin \left( {2x + \alpha } \right) \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - \frac{5}{2} \le \frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x \le \frac{5}{2}\\
\Rightarrow - 1 + \frac{5}{2} \ge - 1 - \left( {\frac{3}{2}\sin 2x + 2\cos 2x} \right) \ge - 1 - \frac{5}{2}\\
\Rightarrow \frac{3}{2} \ge y \ge - \frac{7}{2}
\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \({3 \over 2}\) và \( - {7 \over 2}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.