Bài 1.31 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.31 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Từ khẳng định (khi x thay đổi, hàm số \(y = \sin x\) nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)”, hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số  \(y = a\sin x + b\cos x\) (a, b là hằng số, \({a^2} + {b^2} \ne 0\)) lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)\)

\(\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le y \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}
\end{array}\)

Vậy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\)

LG b

Xét hàm số \(y = {{\sin x + \cos x - 1} \over {\sin x - \cos x + 3}}\).

Viết đẳng thức đó thành

\(\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x =  - 3y - 1\)

để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện.

\({\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge {\left( {3y + 1} \right)^2}\)

Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Do \(\left| {\sin x - \cos x} \right| \le \sqrt 2 \) nên \(\sin x - \cos x + 3 \ne 0\) với mọi x.

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{\sin x + \cos x - 1}}{{\sin x - \cos x + 3}}\\
\Leftrightarrow y\sin x - y\cos x + 3y = \sin x + \cos x - 1\\
\Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x = - \left( {3y + 1} \right)
\end{array}\)

Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} ;\sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \right].\) Đẳng thức trên cho thấy \( - \left( {3y + 1} \right)\) phải thuộc đoạn đó, tức là:

\({\left( {3y + 1} \right)^2} \le {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\)

Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để

\(\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x =  - \left( {3y + 1} \right)\)

Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với

\(7{y^2} + 6y - 1 \le 0\) tức là \( - 1 \le y \le {1 \over 7}\)

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \({1 \over 7}\) và -1.

LG c

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}\)

Ta có: \(\left| {2\cos x - \sin x} \right| \le \sqrt 5 ,\) nên \(2\cos x - \sin x + 4 \ne 0\) với mọi x.

Khi đó,

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\\
\Leftrightarrow \cos x + 2\sin x + 3 = 2y\cos x - y\sin x + 4y\\
\Leftrightarrow \left( {y + 2} \right)\sin x + \left( {1 - 2y} \right)\cos x = 4y - 3
\end{array}\)

Để tồn tại cặp số (x;y) thì:

\({\left( {4y - 3} \right)^2} \le {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2y} \right)^2}\)

Bất đẳng thức tương đương với \(11{y^2} - 24y + 4 \le 0\) tức là \({2 \over {11}} \le y \le 2\)

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và \({2 \over {11}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.