Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Bài 1.36 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.36 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

\({\sin ^2}x - 2\sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0\) 

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ( với \(\cos x \ne 0\) ), ta được phương trình \({\tan ^2}x - 2\tan x - 3 = 0\).

Lời giải chi tiết:

Nếu \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), thay vào phương trình được:

\(1 - 0 - 0 = 0\) (vô lí) nên \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) không là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}{\tan ^2}x - 2\tan x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\\tan x = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan 3 + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \arctan 3 + k\pi \).

LG b

\(6{\sin ^2}x + \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 2\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Viết lại vế phải của phương trình là \(2 = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}6{\sin ^2}x + \sin x\cos x - {\cos ^2}x = 2\\ \Leftrightarrow 6{\sin ^2}x + \sin x\cos x - {\cos ^2}x\\ = 2\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + \sin x\cos x - 3{\cos ^2}x = 0\end{array}\)

Nếu \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), thay vào phương trình được:

\(4 + 0 - 0 = 0\) (vô lí) nên \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) không là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}4{\tan ^2}x + \tan x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\\tan x = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \left( {\dfrac{3}{4}} \right) + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) và \(x = \arctan \left( {\dfrac{3}{4}} \right) + k\pi \).

LG c

\(\sin 2x - 2{\sin ^2}x = 2\cos 2x\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn.

Cách 1 : sử dụng công thức \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\) và \(\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\) để đưa về phương trình \(2{\cos ^2}x - 2\sin x\cos x = 0\) hay \(\cos x\left( {\cos x - \sin x} \right) = 0\)

Cách 2 : Dùng công thức \(2{\sin ^2}x = 1 - \cos 2x\) để đi đến phương trình

\(\sin 2x + \cos 2x - 1 = 2\cos 2x\)

hay \(\sin 2x - \cos 2x = 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin 2x - 2{\sin ^2}x = 2\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - 2.\dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} = 2\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - 1 + \cos 2x = 2\cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x - \cos 2x = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \).

LG d

\(2{\sin ^2}2x - 3\sin 2x\cos 2x + {\cos ^2}2x = 2\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn . Viết lại vế phải của phương trình là \(2 = 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\) , rồi đưa phương trình về dạng \({\cos ^2}2x + 3\sin 2x\cos 2x = 0\)

hay \(\cos 2x\left( {\cos 2x + 3\sin 2x} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}2{\sin ^2}2x - 3\sin 2x\cos 2x + {\cos ^2}2x = 2\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}2x - 3\sin 2x\cos 2x + {\cos ^2}2x\\ = 2\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right)\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x + 3\sin 2x\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\cos 2x + 3\sin 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos 2x + 3\sin 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cot 2x + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\2x = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3} \right) + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2},\) \(x = \dfrac{1}{2}{\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( { - 3} \right) + \dfrac{{k\pi }}{2}\).

LG e

\(4\sin x\cos \left( {x - {\pi  \over 2}} \right) + 4\sin\left( {\pi  + x} \right)\cos x \)\(+ 2\sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right)\cos \left( {\pi  + x} \right) = 1\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn:

\(\cos \left( {x - {\pi  \over 2}} \right) = \sin x,\)\(\sin \left( {x + \pi } \right) =  - \sin x,\) \(\sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right) =  - \cos x\)  và \(\cos \left( {\pi  + x} \right) =  - \cos x\), ta được phương trình sau tương đương với phương trình đã cho :

\(4{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x \)\(= {\sin ^2}x + {\cos ^2}x\)

hay \(3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\cos \left( {x - {\pi  \over 2}} \right) = \sin x\)

\(\sin \left( {x + \pi } \right) =  - \sin x\)

\(\sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right) =  - \cos x\)

\(\cos \left( {\pi  + x} \right) =  - \cos x\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}4\sin x\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right) + 4\sin \left( {\pi  + x} \right)\cos x\\ + 2\sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} - x} \right)\cos \left( {\pi  + x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 4\sin x.\sin x + 4\left( { - \sin x} \right)\cos x\\ + 2\left( { - \cos x} \right).\left( { - \cos x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x\\ + 2{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - 4\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\end{array}\)

Nếu \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), thay vào phương trình được:

\(3 - 0 + 0 = 0\) (vô lí) nên \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) không là nghiệm của phương trình.

Chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}3{\tan ^2}x - 4\tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1\\\tan x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan \dfrac{1}{3} + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,x = \arctan \dfrac{1}{3} + k\pi \).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua