Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Bài 1.43 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 1.43 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

$\tan x = 1 - \cos 2x$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện $\cos x \ne 0$

$\begin{array}{l} \tan x = 1 - \cos 2x\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2{\sin ^2}x\\ \Rightarrow \sin x = 2{\sin ^2}x\cos x\\ \Leftrightarrow \sin x = \sin x\sin 2x\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {\sin 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 0\\ \sin 2x = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {TM} \right) \end{array}$

Vậy $x = k\pi ,x = {\pi \over 4} + k\pi$ .

Quảng cáo

LG b

$\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3}$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình

$\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3}$

$\Leftrightarrow {{\sin \left( {x - {{15}^o}} \right)\cos \left( {x + {{15}^o}} \right)} \over {\cos \left( {x - {{15}^o}} \right)\sin \left( {x + {{15}^o}} \right)}} = {1 \over 3}$

$\Leftrightarrow {{\sin 2x - \sin {{30}^o}} \over {\sin 2x + \sin {{30}^o}}} = {1 \over 3}$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện $\cos \left( {x - {{15}^o}} \right) \ne 0$ và $\sin \left( {x + {{15}^o}} \right) \ne 0$

$\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3}$

$\Leftrightarrow {{\sin \left( {x - {{15}^o}} \right)\cos \left( {x + {{15}^o}} \right)} \over {\cos \left( {x - {{15}^o}} \right)\sin \left( {x + {{15}^o}} \right)}} = {1 \over 3}$

$\Leftrightarrow {{\sin 2x - \sin {{30}^o}} \over {\sin 2x + \sin {{30}^o}}} = {1 \over 3}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x - \frac{1}{2}}}{{\sin 2x + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}\\ \Leftrightarrow 3\sin 2x - \frac{3}{2} = \sin 2x + \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x = 1\\ \Leftrightarrow 2x = {90^0} + k{360^0}\\ \Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0}\,\,\left( {TM} \right) \end{array}$

Vậy $x = {45^o} + k{180^o}$ .

LG c

$\sin 2x + 2\cos 2x = 1 + \sin x - 4\cos x$

Lời giải chi tiết:

$\sin 2x + 2\cos 2x = 1 + \sin x - 4\cos x$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \sin 2x + 2\left( {{{2\cos }^2}x - 1} \right) = 1 + \sin x - 4\cos x \cr & \Leftrightarrow \left( {\sin 2x - \sin x} \right) + \left( {4{{\cos }^2}x - 1} \right) + 4\cos x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x - 1} \right) + \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) \cr&+ 2\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {\sin x + 2\cos x + 3} \right) = 0 \cr}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2\cos x - 1 = 0\\ \sin x + 2\cos x = - 3\left( {VN\,do\,{1^2} + {2^2} < {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array}$

Vậy $x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi$ .

LG d

$3{\sin ^4}x + 5{\cos ^4}x - 3 = 0$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Quy về phương trình trùng phương đối với $\cos x$ .

Lời giải chi tiết:

$3{\sin ^4}x + 5{\cos ^4}x - 3 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2} + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {1 - 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 8{\cos ^4}x - 6{\cos ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ {\cos ^2}x = \frac{3}{4} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{3}{4} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0\\ \cos 2x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\ x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = \pm {\pi \over 6} + k\pi$

LG e

$\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình thành $\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right) = 0$

Lời giải chi tiết:

$\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x$

$\begin{array}{l} 2\sin x - \cos x + 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x - \cos x + 2\sin x\cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right) + \cos x\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = - 1\\ \sin x = \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \pi + k2\pi \\ x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = \pi + k2\pi ,$ $x = {\pi \over 6} + k2\pi ,x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi$

LG f

$1 + \sin x\cos 2x = \sin x + \cos 2x$

Lời giải chi tiết:

$1 + \sin x\cos 2x = \sin x + \cos 2x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + \sin x\cos 2x - \sin x - \cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right) - \cos 2x\left( {1 - \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 - \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = 1\\ \cos 2x = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ x = k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = k\pi ,x = {\pi \over 2} + 2k\pi$

LG g

${\sin ^2}x\tan x + {\cos ^2}x\cot x - {\sin }2x$ $= 1 + \tan x + \cot x$

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình thành

$\tan x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + \cot x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) + \sin 2x = - 1$

Lời giải chi tiết:

${\sin ^2}x\tan x + {\cos ^2}x\cot x - {\sin }2x$ $= 1 + \tan x + \cot x$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \tan x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\\ + \cot x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \tan x.{\cos ^2}x\\ + \cot x.{\sin ^2}x = 0\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sin x\cos x + \cos x\sin x = 0\\ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x = - 1\\ \Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\ x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $x = - {\pi \over {12}} + k\pi ,x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi$

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 1.44 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.44 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...
Bài 1.45 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.45 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng...
Bài 1.46 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.46 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Biết rằng các số rađian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình ...
Bài 1.47 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.47 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho phương trình ...
Bài 1.48 trang 16 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.48 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải phương trình ...
Bài 1.49 trang 16 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.49 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm ...
Bài 1.50 trang 16 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.50 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng...
Bài 1.42 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.42 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...
Bài 1.41 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.41 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau:...
Bài 1.40 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.40 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:...
Bài 1.39 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.39 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để giải các phương trình sau:...
Bài 1.38 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.38 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Số đo của một trong các góc của tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình...
Bài 1.37 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.37 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...
Bài 1.36 trang 14 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.36 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...
Bài 1.35 trang 13 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.35 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải phương trình...
Bài 1.34 trang 13 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.34 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giá trị ...
Bài 1.33 trang 13 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.33 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giá trị x thuộc ...
Bài 1.32 trang 13 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.32 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...
Bài 1.31 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.31 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh...
Bài 1.30 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.30 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính...
Bài 1.29 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.29 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một cách trình bày việc đưa biểu thức ...
Bài 1.28 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.28 trang 12 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:...
Bài 1.27 trang 11 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.27 trang 11 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chọn phương án đúng trong bốn phương án đã cho trong mỗi câu sau:...
Bài 1.26 trang 11 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.26 trang 11 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...
Bài 1.25 trang 11 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải bài 1.25 trang 11 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.