Bài 1.43 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.43 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

\(\tan x = 1 - \cos 2x\)  

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(\cos x \ne 0\)

\(\begin{array}{l}
\tan x = 1 - \cos 2x\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2{\sin ^2}x\\
\Rightarrow \sin x = 2{\sin ^2}x\cos x\\
\Leftrightarrow \sin x = \sin x\sin 2x\\
\Leftrightarrow \sin x\left( {\sin 2x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin 2x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\,\,\,\left( {TM} \right)
\end{array}\)

Vậy \(x = k\pi ,x = {\pi  \over 4} + k\pi \).

LG b

\(\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3}\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình

\(\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3} \)

\(\Leftrightarrow {{\sin \left( {x - {{15}^o}} \right)\cos \left( {x + {{15}^o}} \right)} \over {\cos \left( {x - {{15}^o}} \right)\sin \left( {x + {{15}^o}} \right)}} = {1 \over 3}\)

\( \Leftrightarrow {{\sin 2x - \sin {{30}^o}} \over {\sin 2x + \sin {{30}^o}}} = {1 \over 3}\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(\cos \left( {x - {{15}^o}} \right) \ne 0\) và \(\sin \left( {x + {{15}^o}} \right) \ne 0\)

\(\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3} \)

\(\Leftrightarrow {{\sin \left( {x - {{15}^o}} \right)\cos \left( {x + {{15}^o}} \right)} \over {\cos \left( {x - {{15}^o}} \right)\sin \left( {x + {{15}^o}} \right)}} = {1 \over 3}\)

\( \Leftrightarrow {{\sin 2x - \sin {{30}^o}} \over {\sin 2x + \sin {{30}^o}}} = {1 \over 3}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{\sin 2x - \frac{1}{2}}}{{\sin 2x + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}\\
\Leftrightarrow 3\sin 2x - \frac{3}{2} = \sin 2x + \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \sin 2x = 1\\
\Leftrightarrow 2x = {90^0} + k{360^0}\\
\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0}\,\,\left( {TM} \right)
\end{array}\)

Vậy \(x = {45^o} + k{180^o}\).

LG c

\(\sin 2x + 2\cos 2x = 1 + \sin x - 4\cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin 2x + 2\cos 2x = 1 + \sin x - 4\cos x\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow  \sin 2x + 2\left( {{{2\cos }^2}x - 1} \right) = 1 + \sin x - 4\cos x \cr 
& \Leftrightarrow \left( {\sin 2x - \sin x} \right) + \left( {4{{\cos }^2}x - 1} \right) + 4\cos x - 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x - 1} \right) + \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) \cr&+ 2\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {\sin x + 2\cos x + 3} \right) = 0 \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\cos x - 1 = 0\\
\sin x + 2\cos x = - 3\left( {VN\,do\,{1^2} + {2^2} < {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array}\)

Vậy \(x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi \).

LG d

\(3{\sin ^4}x + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Quy về phương trình trùng phương đối với \(\cos x\).

Lời giải chi tiết:

\(3{\sin ^4}x + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2} + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 3\left( {1 - 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 8{\cos ^4}x - 6{\cos ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
{\cos ^2}x = \frac{3}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{3}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos 2x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = {\pi  \over 2} + k\pi ,x =  \pm {\pi  \over 6} + k\pi \)

LG e

 \(\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình thành \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

 \(\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x\)

\(\begin{array}{l}
2\sin x - \cos x + 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin x - \cos x + 2\sin x\cos x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right) + \cos x\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = - 1\\
\sin x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = \pi  + k2\pi ,\) \(x = {\pi  \over 6} + k2\pi ,x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \)

LG f

\(1 + \sin x\cos 2x = \sin x + \cos 2x\)

Lời giải chi tiết:

\(1 + \sin x\cos 2x = \sin x + \cos 2x\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + \sin x\cos 2x - \sin x - \cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right) - \cos 2x\left( {1 - \sin x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 - \cos 2x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\cos 2x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = k\pi ,x = {\pi  \over 2} + 2k\pi \)

LG g

\({\sin ^2}x\tan x + {\cos ^2}x\cot x - {\sin }2x \)\(= 1 + \tan x + \cot x\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình thành

\(\tan x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + \cot x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) + \sin 2x =  - 1\)

Lời giải chi tiết:

\({\sin ^2}x\tan x + {\cos ^2}x\cot x - {\sin }2x \)\(= 1 + \tan x + \cot x\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \tan x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\\
+ \cot x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \tan x.{\cos ^2}x\\
+ \cot x.{\sin ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sin x\cos x + \cos x\sin x = 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x = - 1\\
\Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x =  - {\pi  \over {12}} + k\pi ,x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi \)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài