Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Bài 1.43 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.43 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

\(\tan x = 1 - \cos 2x\)  

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(\cos x \ne 0\)

\(\begin{array}{l}
\tan x = 1 - \cos 2x\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2{\sin ^2}x\\
\Rightarrow \sin x = 2{\sin ^2}x\cos x\\
\Leftrightarrow \sin x = \sin x\sin 2x\\
\Leftrightarrow \sin x\left( {\sin 2x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin 2x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\,\,\,\left( {TM} \right)
\end{array}\)

Vậy \(x = k\pi ,x = {\pi  \over 4} + k\pi \).

LG b

\(\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3}\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình

\(\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3} \)

\(\Leftrightarrow {{\sin \left( {x - {{15}^o}} \right)\cos \left( {x + {{15}^o}} \right)} \over {\cos \left( {x - {{15}^o}} \right)\sin \left( {x + {{15}^o}} \right)}} = {1 \over 3}\)

\( \Leftrightarrow {{\sin 2x - \sin {{30}^o}} \over {\sin 2x + \sin {{30}^o}}} = {1 \over 3}\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(\cos \left( {x - {{15}^o}} \right) \ne 0\) và \(\sin \left( {x + {{15}^o}} \right) \ne 0\)

\(\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3} \)

\(\Leftrightarrow {{\sin \left( {x - {{15}^o}} \right)\cos \left( {x + {{15}^o}} \right)} \over {\cos \left( {x - {{15}^o}} \right)\sin \left( {x + {{15}^o}} \right)}} = {1 \over 3}\)

\( \Leftrightarrow {{\sin 2x - \sin {{30}^o}} \over {\sin 2x + \sin {{30}^o}}} = {1 \over 3}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{\sin 2x - \frac{1}{2}}}{{\sin 2x + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}\\
\Leftrightarrow 3\sin 2x - \frac{3}{2} = \sin 2x + \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \sin 2x = 1\\
\Leftrightarrow 2x = {90^0} + k{360^0}\\
\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0}\,\,\left( {TM} \right)
\end{array}\)

Vậy \(x = {45^o} + k{180^o}\).

LG c

\(\sin 2x + 2\cos 2x = 1 + \sin x - 4\cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin 2x + 2\cos 2x = 1 + \sin x - 4\cos x\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow  \sin 2x + 2\left( {{{2\cos }^2}x - 1} \right) = 1 + \sin x - 4\cos x \cr 
& \Leftrightarrow \left( {\sin 2x - \sin x} \right) + \left( {4{{\cos }^2}x - 1} \right) + 4\cos x - 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x - 1} \right) + \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) \cr&+ 2\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {\sin x + 2\cos x + 3} \right) = 0 \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\cos x - 1 = 0\\
\sin x + 2\cos x = - 3\left( {VN\,do\,{1^2} + {2^2} < {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array}\)

Vậy \(x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi \).

LG d

\(3{\sin ^4}x + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Quy về phương trình trùng phương đối với \(\cos x\).

Lời giải chi tiết:

\(3{\sin ^4}x + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2} + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 3\left( {1 - 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 8{\cos ^4}x - 6{\cos ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
{\cos ^2}x = \frac{3}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{3}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos 2x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = {\pi  \over 2} + k\pi ,x =  \pm {\pi  \over 6} + k\pi \)

LG e

 \(\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình thành \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

 \(\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x\)

\(\begin{array}{l}
2\sin x - \cos x + 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin x - \cos x + 2\sin x\cos x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right) + \cos x\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = - 1\\
\sin x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = \pi  + k2\pi ,\) \(x = {\pi  \over 6} + k2\pi ,x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \)

LG f

\(1 + \sin x\cos 2x = \sin x + \cos 2x\)

Lời giải chi tiết:

\(1 + \sin x\cos 2x = \sin x + \cos 2x\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + \sin x\cos 2x - \sin x - \cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right) - \cos 2x\left( {1 - \sin x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 - \cos 2x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\cos 2x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = k\pi ,x = {\pi  \over 2} + 2k\pi \)

LG g

\({\sin ^2}x\tan x + {\cos ^2}x\cot x - {\sin }2x \)\(= 1 + \tan x + \cot x\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình thành

\(\tan x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + \cot x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) + \sin 2x =  - 1\)

Lời giải chi tiết:

\({\sin ^2}x\tan x + {\cos ^2}x\cot x - {\sin }2x \)\(= 1 + \tan x + \cot x\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \tan x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\\
+ \cot x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \tan x.{\cos ^2}x\\
+ \cot x.{\sin ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sin x\cos x + \cos x\sin x = 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x = - 1\\
\Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x =  - {\pi  \over {12}} + k\pi ,x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua