Bài 1.45 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.45 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng...

Đề bài

Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng \(\left( {{\pi  \over 4};{{5\pi } \over 4}} \right)\) rồi tìm giá trị gần đúng của chúng, chính xác đến hàng phần trăm:

\(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\)

\( \Leftrightarrow \cos x + \sin x + {{\sin x + \cos x} \over {\sin x\cos x}} = {{10} \over 3}\)

Đặt \(t = \cos x + \sin x\)  với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Khi đó \(\sin x\cos x = {{{t^2} - 1} \over 2}\) và phương trình trở thành

\(t + {{2t} \over {{t^2} - 1}} = {{10} \over 3}\,\,\,\,(1)\)

Với điều kiện \(t \ne  \pm 1,\) ta có:

\((1) \Leftrightarrow 3{t^2} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0\)

Phương trình này có ba nghiệm \({t_1} = 2,{t_2} = {{2 + \sqrt {19} } \over 3}\) và \({t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}.\)

Tuy nhiên, chỉ có \({t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}\) là thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Do đó phương trình đa cho tương đương với \(\cos x + \sin x = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}\) hay

              \(\cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Điều kiện  \({\pi  \over 4} < x < {{5\pi } \over 4}\) tương đương với điều kiện \(0 < x   - {\pi  \over 4} < \pi .\) Với điều kiện đó ta có

\((2) \Leftrightarrow x - {\pi  \over 4} = \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\)

       \(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\)

Lấy các giá trị gần đúng \({\pi  \over 4} \approx 0,785\) và \(\arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }} \approx 2,160\) ta được \(x \approx 2,95.\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài