Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 3: Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản

Bài 1.45 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.45 trang 15 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng...

Đề bài

Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng \(\left( {{\pi  \over 4};{{5\pi } \over 4}} \right)\) rồi tìm giá trị gần đúng của chúng, chính xác đến hàng phần trăm:

\(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\cos x + \sin x + {1 \over {\sin x}} + {1 \over {\cos x}} = {{10} \over 3}\)

\( \Leftrightarrow \cos x + \sin x + {{\sin x + \cos x} \over {\sin x\cos x}} = {{10} \over 3}\)

Đặt \(t = \cos x + \sin x\)  với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Khi đó \(\sin x\cos x = {{{t^2} - 1} \over 2}\) và phương trình trở thành

\(t + {{2t} \over {{t^2} - 1}} = {{10} \over 3}\,\,\,\,(1)\)

Với điều kiện \(t \ne  \pm 1,\) ta có:

\((1) \Leftrightarrow 3{t^2} - 10{t^2} + 3t + 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {3{t^2} - 4t - 5} \right) = 0\)

Phương trình này có ba nghiệm \({t_1} = 2,{t_2} = {{2 + \sqrt {19} } \over 3}\) và \({t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}.\)

Tuy nhiên, chỉ có \({t_3} = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}\) là thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\) Do đó phương trình đa cho tương đương với \(\cos x + \sin x = {{2 - \sqrt {19} } \over 3}\) hay

              \(\cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Điều kiện  \({\pi  \over 4} < x < {{5\pi } \over 4}\) tương đương với điều kiện \(0 < x   - {\pi  \over 4} < \pi .\) Với điều kiện đó ta có

\((2) \Leftrightarrow x - {\pi  \over 4} = \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\)

       \(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + \arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }}\)

Lấy các giá trị gần đúng \({\pi  \over 4} \approx 0,785\) và \(\arccos {{2 - \sqrt {19} } \over {3\sqrt 2 }} \approx 2,160\) ta được \(x \approx 2,95.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store