Bài 4 trang 105 SGK Hình học 11

Bình chọn:
3.7 trên 16 phiếu

Giải bài 4 trang 105 SGK Hình học 11. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc...

Đề bài

Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc. Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(O\) tới mặt phẳng \((ABC)\). Chứng minh rằng:

a) H là trực tâm của tam giác \(ABC\);

b) \(\dfrac{1}{OH^{2}}=\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}+\dfrac{1}{OC^{2}}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(AB \bot CH;\,\,BC \bot AH\).

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

a) \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mp \((ABC)\) nên \(OH ⊥ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ BC\).  (1)

Mặt khác: \(OA ⊥ OB\), \(OA ⊥ OC\)

\(\Rightarrow OA ⊥ (OBC) \Rightarrow OA ⊥ BC\)          (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC ⊥ (AOH) \Rightarrow BC  ⊥ AH\). Chứng minh tương tự ta được \(AB ⊥ CH \)

\(\Rightarrow H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\).

b) Trong mặt phẳng \((ABC)\) gọi \(E = AH ∩ BC\), \(OH ⊥ (ABC)\), \(AE ⊂ (ABC) \Rightarrow OH ⊥ AE\) tại \(H\); tức là \(OH\) là đường cao của tam giác vuông \(OAE\).

\(BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot OE \Rightarrow OE\) là đường cao của tam giác vuông \(OBC\).

Do đó: \(\dfrac{1}{OH^{2}}=\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OE^{2}} =\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}+\dfrac{1}{OC^{2}}.\)

Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông: \(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}} .\)

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.