Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3 trang 104 SGK Hình học 11

Giải bài 3 trang 104 SGK Hình học 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có SA=SB=SC=SD.Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) và có \(SA=SB=SC=SD\).Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\);

b) Đường thẳng \( AC\) vuông góc với mặt phẳng \((SBD)\) và đường thẳng \(BD\) vuông góc với mặt phẳng \(SAC\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kết quả của định lí:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Lời giải chi tiết

a) \(SA=SC\) nên tam giác \(SAC\) cân tại \(S\).

\(O\) là giao của hai đường chéo hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).

Do đó \(SO\) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác \(SAC\) hay \(SO\bot AC\)

Chứng minh tương tự ta được: \(SO\bot BD\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
SO \bot AC\\
SO \bot BD\\
AC,BD \subset \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

b) \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC\bot BD\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
AC \bot BD\\
AC \bot SO\\
SO \cap BD = O\\
SO,BD \subset \left( {SBD} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
BD \bot AC\\
BD \bot SO\\
SO \cap AC = O\\
SO,AC \subset \left( {SAC} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

Loigiaihay.com