Bài 3 trang 24 SGK Hình học 11

Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm của tam giác A'B'C'

Đề bài

Chứng minh rằng: Nếu một phép dời hình biến tam giác \(ABC\) thành tam giác \(A'B'C'\) thì nó cũng biến trọng tâm của tam giác \(ABC\) tương ứng thành trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phép dời hình biến các đoạn thẳng thành các đoạn thẳng, do đó biến các trung tuyến thành các trung tuyến tương ứng.

Lời giải chi tiết

Gọi phép dời hình đó là \(f\).

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC, G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do \(f\) biến \(AB, AC\) thành \(A'B', A'C' \) nên f biến \(M, N\) thành \(M', N'\) là trung điểm của của \(A'B', A'C'\).

Vậy \(f\) biến các trung tuyến \(CM, BN\) của tam giác \(ABC\) tương ứng thành các trung tuyến \(C'M', B'N'\) của tam giác \(A'B'C'\).

Do đó f biến G là giao điểm của CM, BN thành G' là giao điểm của C'M', B'N' hay G' là trọng tâm tam giác A'B'C'.

Từ đó suy ra \(f\) biến trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) thành trọng tâm \(G'\) của tam giác \(A'B'C'\).

Cách khác:

Gọi f là phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Gọi D là trung điểm của BC, D’ = f(D).

Gọi G là trọng tâm ΔABC, G’ = f(G).

+ B, D, C thẳng hàng ⇒ B’; D’; C’ thẳng hàng.

+ A; G; D thẳng hàng ⇒ A’; G’; D’ thẳng hàng.

+ B’D’ = BD = BC/2 = B’C’/2 ⇒ D’ là trung điểm B’C’.

+ A’G’ = AG = 2.AD/3 = 2.A’D’/3 ⇒ G’ là trọng tâm ΔA’B’C’.

Vậy phép dời hình f biến trọng tâm G của ΔABC thành trọng tâm G’ của ΔA’B’C’ (đpcm).

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.4 trên 22 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 2 trang 24 SGK Hình học 11
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.
Bài 1 trang 23 SGK Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-3;2), B(-4;5) và C(-1;3)
Câu hỏi 5 trang 23 SGK Hình học 11
Cho hình chữ nhật ABCD...
Câu hỏi 4 trang 22 SGK Hình học 11
Cho hình chữ nhật ABCD...
Câu hỏi 3 trang 21 SGK Hình học 11
Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép dời hình F. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của AB thì M’ = F(M) là trung điểm của A’B’....
Câu hỏi 2 trang 21 SGK Hình học 11
Hãy chứng minh tính chất 1....
Câu hỏi 1 trang 20 SGK Hình học 11
Cho hình vuông ABCD...
Lý thuyết khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Nghĩa là với hai điểm M, N tùy ý và ảnh M', N' tương ứng của chúng, ta luôn có M'N'=MN